У=х-11/х2+5 исследовать функцию на монотонность
Чтобы исследовать функцию у = х - 11/(х² + 5) на монотонность, необходимо определить её производную и проанализировать изменения знака этой производной.
Находим производную функции:
Запишем функцию в более удобном виде: \[ y = x - \frac{11}{x^2 + 5} \]
Теперь найдем производную \( y' \): \[ y' = 1 - \frac{d}{dx} \left(\frac{11}{x^2 + 5}\right) \]
Используя правило дифференцирования дробей, получим: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{11}{x^2 + 5}\right) = -\frac{11 \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = -\frac{22x}{(x^2 + 5)^2} \] Значит: \[ y' = 1 + \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} \]
Анализируем знак производной:
Теперь мы можем исследовать знак производной. Производная \( y' \) равна: \[ y' = 1 + \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} \] Рассмотрим случай, когда \( x > 0 \):
- При \( x > 0 \), второй член производной \( \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} > 0 \). Значит, \( y' > 1 > 0 \) — функция возрастает.
Рассмотрим случай, когда \( x < 0 \):
- При \( x < 0 \), второй член производной \( \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} < 0 \), но так как 1 остается положительным (больше 0), нужно выяснить, когда \( 1 + \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} = 0 \).
Решим уравнение: \[ 1 + \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} = 0 \implies \frac{22x}{(x^2 + 5)^2} = -1 \implies 22x = -(x^2 + 5)^2 \]
Это уравнение сложно решить аналитически, но можно заметить, что для \( x < 0 \) функция \( y' \) будет отрицательной, когда \( x \) будет достаточно большим по модулю. Находим критические точки, где \( y' = 0 \) и исследуем функцию на интервалах.
Результаты исследования:
- Для \( x > 0 \: y' > 0 \): функция возрастает.
- Для \( x < 0 \): нужно дополнительно проанализировать, где происходит изменение знака.
Поэтому, для окончательного анализа, можно также рассмотреть функцию на прикладных значениях \( x \) и построить график, что может помочь в визуализации поведения функции.
Если есть еще вопросы или требуется более подробный анализ, не стесняйтесь спрашивать!
