297. а) Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. б) Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 298. а) Баржа прошла по течению реки 45 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км,затра- тив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч. б) Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 36 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Давайте пошагово решим предложенные задачи.
Задача 297
а) Дано:
- Расстояние против течения: 72 км
- Скорость течения реки: 3 км/ч
- Разница во времени: 2 часа
Обозначим:
- \(v\) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).
- Время в пути против течения (где скорость лодки уменьшается на скорость течения):
\[ t_1 = \frac{72}{v - 3} \]
- Время в пути по течению (где скорость лодки увеличивается на скорость течения):
\[ t_2 = \frac{72}{v + 3} \]
Согласно условию,
\[ t_2 = t_1 - 2 \]
Подставим значения времени:
\[ \frac{72}{v + 3} = \frac{72}{v - 3} - 2 \]
Умножим оба уравнения на \((v - 3)(v + 3)\), чтобы избавиться от дробей:
\[ 72(v - 3) = 72(v + 3) - 2(v^2 - 9) \]
Раскроем скобки:
\[ 72v - 216 = 72v + 216 - 2v^2 + 18 \]
Сократим \(72v\) и упрощаем уравнение:
\[ -216 = 216 - 2v^2 + 18 \]
\[ -216 = 234 - 2v^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 2v^2 - 234 - 216 = 0 \]
\[ 2v^2 - 450 = 0 \]
Делим на 2:
\[ v^2 = 225 \]
\[ v = 15 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.
б) Дано:
- Расстояние против течения: 77 км
- Скорость течения: 4 км/ч
- Разница во времени: 2 часа
Проводим аналогичные обозначения и расчет:
\[ t_1 = \frac{77}{v - 4} \] \[ t_2 = \frac{77}{v + 4} \]
Согласно условию:
\[ \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \]
Умножаем на \((v - 4)(v + 4)\):
\[ 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v^2 - 16) \]
Раскрываем скобки:
\[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \]
Сократим \(77v\):
\[ -308 = 308 - 2v^2 + 32 \]
Упрощая, получаем:
\[ -308 = 340 - 2v^2 \]
Переносим и упрощаем:
\[ 2v^2 - 340 - 308 = 0 \]
\[ 2v^2 - 648 = 0 \]
Делим на 2:
\[ v^2 = 324 \]
\[ v = 18 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч.
Задача 298
а) Дано:
- Вперед по течению: 45 км
- Назад: 42 км
- Время в пути: 6 часов
- Скорость течения: 3 км/ч
Обозначим скорость баржи как \(v\).
Время по течению:
\[ t_1 = \frac{45}{v + 3} \]
Время против течения:
\[ t_2 = \frac{42}{v - 3} \]
Сумма времени:
\[ t_1 + t_2 = 6 \]
Подставим значения:
\[ \frac{45}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 6 \]
Умножаем на \((v + 3)(v - 3)\):
\[ 45(v - 3) + 42(v + 3) = 6(v^2 - 9) \]
Раскрываем скобки:
\[ 45v - 135 + 42v + 126 = 6v^2 - 54 \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 87v - 135 + 126 + 54 - 6v^2 = 0 \]
\[ -6v^2 + 87v + 45 = 0 \]
Умножаем на -1:
\[ 6v^2 - 87v - 45 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение по формуле:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{87 \pm \sqrt{(-87)^2 - 4\cdot6\cdot(-45)}}{2\cdot6} \]
Считаем дискриминант:
\[ = \sqrt{7569 + 1080} = \sqrt{8649} = 93 \]
Подставим дискриминант:
\[ v = \frac{87 \pm 93}{12} \]
Корни:
\[ v_1 = \frac{180}{12} = 15, \quad v_2 = \frac{-6}{12} = -0.5 \text{ (не подходит)} \]
Таким образом, собственная скорость баржи равна 15 км/ч.
б) Дано:
- Вперед по течению: 40 км
- Назад: 36 км
- Время: 5 часов
- Скорость течения: 4 км/ч
Аналогично:
\[ t_1 = \frac{40}{v + 4}, \quad t_2 = \frac{36}{v - 4} \]
Время в пути:
\[ \frac{40}{v + 4} + \frac{36}{v - 4} = 5 \]
Умножаем на \((v + 4)(v - 4)\):
\[ 40(v - 4) + 36(v + 4) = 5(v^2 - 16) \]
Раскрываем:
\[ 40v - 160 + 36v + 144 = 5v^2 - 80 \]
Соберем в одну сторону:
\[ 76v - 16 = 5v^2 - 80 \]
\[ 5v^2 - 76v - 64 = 0 \]
Решаем:
\[ v = \frac{76 \pm \sqrt{(-76)^2 - 4\cdot5\cdot(-64)}}{2\cdot5} \]
Считаем дискриминант:
\[ = \sqrt{5776 + 1280} = \sqrt{7056} = 84 \]
Подставляем:
\[ v = \frac{76 \pm 84}{10} \]
Корни:
\[ v_1 = 16, \quad v_2 = -0.8 \text{ (не подходит)} \]
Таким образом, собственная скорость баржи равна 16 км/ч.
Итак, резюмируем все ответы:
- Задача 297: а) 15 км/ч, б) 18 км/ч
- Задача 298: а) 15 км/ч, б) 16 км/ч
