2+cos²x=2sinx
Чтобы решить уравнение \( 2 + \cos^2 x = 2 \sin x \), давайте начнём с приведения его к более удобной форме.
Переносим все члены уравнения в одну сторону: \[ 2 + \cos^2 x - 2\sin x = 0 \]
Напомним, что для работы с \( \cos^2 x \) можно использовать тригонометрическую идентичность, которая связывает синус и косинус: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это в наше уравнение: \[ 2 + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x = 0 \] Упростим уравнение: \[ 3 - \sin^2 x - 2\sin x = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение можно записать как: \[ -\sin^2 x - 2\sin x + 3 = 0 \] Умножаем на -1, чтобы сделать коэффициенты положительными: \[ \sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0 \]
Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1, b = 2, c = -3 \): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Это дает два решения: \[ y_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
- Для \( y_1 = 1 \): \[ \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
- Для \( y_2 = -3 \) это значение не может быть достигнуто, поскольку синус находится в пределах от -1 до 1.
Таким образом, единственным решением уравнения является: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
