Lim (x, ∞) (1+((2)/(x-1))^(3x+1))

Чтобы найти предел функции \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{3x+1}\), начнем с анализа выражения внутри предела.

Когда \(x\) стремится к бесконечности, \(\frac{2}{x-1}\) стремится к нулю. Таким образом, можем переписать выражение следующим образом:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{3x+1} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{(x-1) \cdot \frac{(3x+1)}{(x-1)}}. \]

Упростим показатель:

\[ \frac{3x+1}{x-1} = \frac{3x}{x-1} + \frac{1}{x-1} = 3 + \frac{4}{x-1}. \]

Как \(x\) стремится к бесконечности, \(\frac{4}{x-1}\) стремится к нулю. Следовательно, наш предел можно представить как:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{(x-1)(3 + \frac{4}{x-1})}. \]

По свойству предела \((1 + \frac{a}{n})^n \to e^a\) при \(n \to \infty\), это выражение можно переписать как:

\[ \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x-1}\right]^{3 + \frac{4}{x-1}}. \]

При \(x\) стремящемся к бесконечности, \(\left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x-1} \to e^2\).

Следовательно, весь предел будет равен:

\[ (e^2)^{3 + 0} = e^{2 \cdot 3} = e^6. \]

Таким образом, окончательный ответ на предел:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{3x+1} = e^6. \]