lim(x→∞) ((3x+1) /(3x-2)) ^2x

Чтобы найти предел функции \( \lim_{x→∞} \left( \frac{3x+1}{3x-2} \right)^{2x} \), начнем с упрощения выражения внутри предела.

1. Упростим дробь: \[ \frac{3x + 1}{3x - 2} = \frac{3x(1 + \frac{1}{3x})}{3x(1 - \frac{2}{3x})} = \frac{1 + \frac{1}{3x}}{1 - \frac{2}{3x}} \] При \( x \to \infty \), \( \frac{1}{3x} \to 0 \) и \( \frac{2}{3x} \to 0 \). Таким образом, дробь стремится к: \[ \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \]

2. Теперь подставим это в предел: \[ \left( \frac{3x + 1}{3x - 2} \right)^{2x} \to 1^{2x} \] Однако, чтобы получить более точный результат, нужно учитывать, как \( \frac{3x + 1}{3x - 2} \) приближается к 1. Для этого можно использовать следующую форму выражения: \[ \frac{3x + 1}{3x - 2} = 1 + \frac{3}{3x - 2} \] При \( x \to \infty \) этот член стремится к 0.

3. Теперь нам нужно изучить выражение: \[ \left( 1 + \frac{3}{3x - 2} \right)^{2x} \] Здесь мы применим предел вида \( (1 + \frac{1}{n})^n \to e \): \[ y = \left( 1 + \frac{3}{3x - 2} \right)^{2x} = \left( \left(1 + \frac{3}{3x-2}\right)^{(3x-2)} \right)^{\frac{2x}{3x-2}} \]

4. Оценим \( \frac{2x}{3x - 2} \): При \( x \to \infty \): \[ \frac{2x}{3x - 2} \to \frac{2}{3} \]

5. Итак, предел становится: \[ \left(1 + \frac{3}{3x - 2}\right)^{3x - 2} \to e^3 \]

Таким образом, окончательно мы получаем: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x + 1}{3x - 2} \right)^{2x} = e^2 \]

Следовательно, \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x + 1}{3x - 2} \right)^{2x} = e^2. \]