(x-3)²(x²+x-2)≤0

Чтобы решить неравенство \((x-3)²(x²+x-2)≤0\), начнем с анализа каждого из множителей.

1. Найдем корни:

   • Первый множитель \((x-3)²\) равен нулю, когда \(x = 3\). Поскольку это квадрат, он всегда неотрицателен (так как любой квадрат не может быть отрицательным), и равен нулю только в точке \(x = 3\).
   • Второй множитель \(x² + x - 2\) можно разложить на множители. Для его решения применим формулу корней квадратного уравнения: \[ x² + x - 2 = 0 \] Корни находятся при помощи дискриминанта: \[ D = b² - 4ac = 1² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Таким образом, получаем: \[ x_1 = 1,\quad x_2 = -2 \]

2. Значения выражения в различных интервалах: Теперь, имея корни, рассмотрим знаки произведения \((x-3)²(x²+x-2)\) в интервалах, ограниченных корнями: \((-∞, -2)\), \((-2, 1)\), \((1, 3)\) и \((3, +∞)\).

   • На интервале \((-∞, -2)\) выбираем, например, \(x = -3\): \((x-3)²\) положительно, \(x² + x - 2\) положительно. Произведение положительно.
   • На интервале \((-2, 1)\) выбираем \(x = 0\): \((x-3)²\) положительно, \(x² + x - 2\) отрицательно. Произведение отрицательно.
   • На интервале \((1, 3)\) выбираем \(x = 2\): \((x-3)²\) положительно, \(x² + x - 2\) положительно. Произведение положительно.
   • На интервале \((3, +∞)\) выбираем \(x = 4\): \((x-3)²\) положительно, \(x² + x - 2\) положительно. Произведение положительно.

3. Объединяем результаты: Мы ищем интервалы, где произведение меньше или равно нулю:

   • В \((-2, 1)\) выражение отрицательно.
   • На границах \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 3\) выражение равно нулю.

Таким образом, общее решение неравенства \((x-3)²(x²+x-2)≤0\) будет: \[ [-2, 1] \cup \{3\} \]

Это означает, что все значения \(x\) на интервале от \(-2\) до \(1\), включая сами концы, и точка \(3\) удовлетворяют данному неравенству.