Реши уравнения рациональное; x²+3/x²+1=2

Чтобы решить уравнение \( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2 \), давайте начнем с устранения дроби. Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 + 1 \) (математически это допустимо, так как \( x^2 + 1 \) никогда не равно нулю):

\[ x^2 + 3 = 2(x^2 + 1) \]

Раскроем скобки на правой стороне уравнения:

\[ x^2 + 3 = 2x^2 + 2 \]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[ x^2 + 3 - 2x^2 - 2 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ -x^2 + 1 = 0 \]

Это можно переписать как:

\[ -x^2 = -1 \]

Преобразуем и:

\[ x^2 = 1 \]

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

\[ x = \pm 1 \]

Таким образом, у уравнения есть два решения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Теперь подставим оба значения обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они верны:

1. Для \( x = 1 \): \[ \frac{1^2 + 3}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(истинно)} \]

2. Для \( x = -1 \): \[ \frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{(истинно)} \]

Таким образом, оба значения \( x = 1 \) и \( x = -1 \) являются решениями уравнения.