5х-х²<0

Чтобы решить неравенство \(5x - x^2 < 0\), начнем с его упрощения.

1. Перепишем неравенство в стандартной форме:

\[ -x^2 + 5x < 0 \]

2. Умножим всю неравенство на -1 (не забываем изменить знак на противоположный):

\[ x^2 - 5x > 0 \]

3. Теперь можем вынести общий множитель:

\[ x(x - 5) > 0 \]

4. Далее определим корни неравенства:

\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x - 5 = 0 \implies x = 5 \]

5. У нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = 5 \). Теперь мы можем разделить числовую прямую на интервалы:

• \( (-\infty, 0) \)
• \( (0, 5) \)
• \( (5, \infty) \)

6. Теперь проверим знак на каждом интервале. Для этого выберем произвольные числа из каждого интервала.

• Для интервала \( (-\infty, 0) \), например \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 - 5) = -1 \cdot (-6) = 6 > 0 \quad \text{(область решения)} \]

• Для интервала \( (0, 5) \), например \( x = 1 \): \[ (1)(1 - 5) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0 \quad \text{(не область решения)} \]

• Для интервала \( (5, \infty) \), например \( x = 6 \): \[ (6)(6 - 5) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \quad \text{(область решения)} \]

7. Теперь распишем результат. Неравенство \( x(x - 5) > 0 \) выполняется для интервалов:

\[ (-\infty, 0) \quad \text{и} \quad (5, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \(5x - x^2 < 0\) это:

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (5, +\infty) \]