2. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°, меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Найти объем парал- лелепипеда.
Чтобы найти объем прямого параллелепипеда, нам нужно знать площадь основания и высоту. В данной задаче мы имеем основание с сторонами 8 см и 15 см, которые образуют угол в 60°.
- Найдем площадь основания. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
\[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон основания, а \( \theta \) — угол между ними.
Подставим известные значения:
\[ S = 8 \, \text{см} \cdot 15 \, \text{см} \cdot \sin(60°) \]
Значение \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда:
\[ S = 8 \, \text{см} \cdot 15 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
- Найдем высоту параллелепипеда. Угол между меньшей диагональю и плоскостью основания составляет 30°. Для нахождения высоты воспользуемся свойствами диагонали.
Диагональ основания \( d \) можно найти по формуле:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\theta)} \]
Подставим значения:
\[ d = \sqrt{8^2 + 15^2 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°)} = \sqrt{64 + 225 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0.5} = \sqrt{64 + 225 + 120} = \sqrt{409} \]
Теперь мы знаем угол \( \alpha = 30° \): С учетом угла, высота \( h \) равна:
\[ h = d \cdot \sin(30°) = \sqrt{409} \cdot 0.5 = \frac{\sqrt{409}}{2} \]
- Теперь можем найти объем параллелепипеда:
\[ V = S \cdot h = 60\sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot \frac{\sqrt{409}}{2} = 30\sqrt{3 \cdot 409} \, \text{см}^3 \]
Таким образом, объем прямого параллелепипеда составляет:
\[ V = 30\sqrt{1227} \, \text{см}^3 \]
Это и есть окончательный ответ на задачу.
