найдите наибольшее значение функции у=10ln(x+9)-10x-17 на отрезке [-8,5;0]
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 10 \ln(x + 9) - 10x - 17 \) на отрезке \([-8, 0]\), нам нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции и определить критические точки, где производная равна нулю или не определена.
Производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{10}{x + 9} - 10 \]
Теперь найдем, где производная равна нулю: \[ \frac{10}{x + 9} - 10 = 0 \] \[ \frac{10}{x + 9} = 10 \] Умножая обе стороны на \( x + 9 \) (учитывая, что \( x + 9 \neq 0 \)): \[ 10 = 10(x + 9) \] \[ 10 = 10x + 90 \implies 10x = -80 \implies x = -8 \]
Так как \( x = -8 \) находится на границе отрезка, мы также должны учитывать границы.
Вычислить значения функции в критической точке и на границах отрезка:
В точке \( x = -8 \): \[ y(-8) = 10 \ln(-8 + 9) - 10(-8) - 17 = 10 \ln(1) + 80 - 17 = 0 + 80 - 17 = 63 \]
В точке \( x = 0 \): \[ y(0) = 10 \ln(0 + 9) - 10(0) - 17 = 10 \ln(9) - 17 \] Для вычисления \( 10 \ln(9) \): \[ \ln(9) \approx 2.197 \] Следовательно: \[ y(0) \approx 10 \cdot 2.197 - 17 = 21.97 - 17 \approx 4.97 \]
Сравнить полученные значения:
- \( y(-8) = 63 \)
- \( y(0) \approx 4.97 \)
Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) на отрезке \([-8, 0]\) равно \( 63 \), и оно достигается в точке \( x = -8 \).
