X²-11x+24<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 11x + 24 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 11x + 24 = 0 \).
Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -11 \), и \( c = 24 \).
Сначала вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 11x + 24 = 0 \) — это \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = 3 \).
Теперь мы знаем, что парабола, описанная данным квадратным уравнением, направлена вверх (так как коэффициент \( a = 1 > 0 \)) и будет принимать отрицательные значения между корнями. Поэтому нужно проверить промежутки:
- \( (-\infty, 3) \)
- \( (3, 8) \)
- \( (8, \infty) \)
Выберем точку из каждого промежутка для проверки:
Для промежутка \( (-\infty, 3) \), выберем \( x = 0 \): \[ 0^2 - 11 \cdot 0 + 24 = 24 \quad (\text{положительно}) \]
Для промежутка \( (3, 8) \), выберем \( x = 5 \): \[ 5^2 - 11 \cdot 5 + 24 = 25 - 55 + 24 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для промежутка \( (8, \infty) \), выберем \( x = 9 \): \[ 9^2 - 11 \cdot 9 + 24 = 81 - 99 + 24 = 6 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, неравенство \( x^2 - 11x + 24 < 0 \) выполняется на промежутке \( (3, 8) \).
Ответ: \( (3, 8) \).
