В прямоугольном треугольнике проведена бесектриса прямого угла. Через точку пересечена этой бесектрисы с гипотенузой проведены прямые, паралельными катетами. Докажите, что полученный четырёхугольник-квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Пусть точка D — это точка пересечения биссектрисы угла C с гипотенузой AB.

Согласно свойству биссектрисы, она делит угол C пополам, то есть угол ACD равен углу BCD. Также, так как угол C прямой, имеет место равенство:

\[ \angle ACD + \angle BCD = 90^\circ. \]

Таким образом, каждый из углов ACD и BCD составляет по 45 градусов:

\[ \angle ACD = \angle BCD = 45^\circ. \]

Теперь проведем линии, параллельные катетам AC и BC из точки D. Назовем их линиями DE и DF, где DE параллельна AC, а DF параллельна BC.

Так как DE параллельна AC и DF параллельна BC, то углы:

\[ \angle EDF = \angle ACD = 45^\circ \quad \text{и} \quad \angle DEF = \angle BCD = 45^\circ. \]

Таким образом, в четырехугольнике DEF у нас есть два угла по 45 градусов. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусам. Таким образом, оставшиеся два угла DEF и EDF также должны составлять по 90 градусов, из чего следует, что DEF и EDF равны, и оба равны по 90 градусов.

Теперь рассмотрим стороны DE и DF. Поскольку DE || AC и DF || BC, то DE и DF будут равны по длине, так как они обе являются отрезками, соединяющими две стороны, параллельные катетам.

Таким образом, сторона DE = сторона DF, а также оба угла при точке D равны по 90 градусов и 45 градусов соответственно. Это означает, что четырёхугольник DEF является квадратом.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник, полученный через точку пересечения биссектрисы с гипотенузой и проведенные из этой точки прямые, параллельные катетам, является квадратом.