Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. 2 вариант. 1. Вынесите множитель из-под знака корня: 1 sqrt(96) 2) 10 sqrt 0,02 ;3) 10/11 * sqrt(9 17/25) 2. Упростите…
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. 2 вариант. 1. Вынесите множитель из-под знака корня: 1 sqrt(96) 2) 10 sqrt 0,02 ;3) 10/11 * sqrt(9 17/25) 2. Упростите выражение: 1 ) sqrt(16a) + sqrt(100a) - sqrt(81a) ;2) sqrt 5m -3 sqrt 20m sqrt(125m) 3. Выполните действия: 1) (4sqrt(3) - 2sqrt(5)) * sqrt(3) + sqrt(60) 2) (4 - sqrt(13))(4 + sqrt(13)) ; 3) (2sqrt(3) - 1) ^ 2 + 2sqrt(12) ; 4 (8 - sqrt(6)) ^ 2 + (5 + sqrt(6)) ^ 2 4. Сократите дробь: 1 ) (x ^ 2 - 19)/(x + sqrt(19)) ;2) c+9 sqrt c c-81 3 (a - 10sqrt(a) + 25)/(a - 25) 5. Освободитесь от иррациональности в ) 27/(2sqrt(3)) знаменателе:12 41/(sqrt(47) - sqrt(6))
Давайте разберем ваши задания по преобразованию выражений, содержащих квадратные корни.
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
- \( \sqrt{96} \)
Чтобы вынести множитель, нужно разложить 96 на множители. Можно написать \( 96 = 16 \times 6 \). Тогда:
\[ \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6} \]
- \( 10 \sqrt{0.02} \)
Сначала упростим корень:
\[ 0.02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{5000} = \frac{1}{50} \times 2 \] Таким образом:
\[ \sqrt{0.02} = \sqrt{\frac{2}{100}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \]
Итак,
\[ 10 \sqrt{0.02} = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \]
- \( \frac{10}{11} \cdot \sqrt{9 \frac{17}{25}} \)
Сначала преобразим смешанное число: \( 9 \frac{17}{25} = \frac{9 \cdot 25 + 17}{25} = \frac{225 + 17}{25} = \frac{242}{25} \)
Тогда:
\[ \sqrt{9 \frac{17}{25}} = \sqrt{\frac{242}{25}} = \frac{\sqrt{242}}{5} \]
Так что:
\[ \frac{10}{11} \cdot \sqrt{9 \frac{17}{25}} = \frac{10}{11} \cdot \frac{\sqrt{242}}{5} = \frac{2\sqrt{242}}{11} \]
2. Упростите выражение:
- \( \sqrt{16a} + \sqrt{100a} - \sqrt{81a} \)
Упрощаем каждый корень:
\[ \sqrt{16a} = 4\sqrt{a}, \quad \sqrt{100a} = 10\sqrt{a}, \quad \sqrt{81a} = 9\sqrt{a} \]
Теперь:
\[ 4\sqrt{a} + 10\sqrt{a} - 9\sqrt{a} = (4 + 10 - 9)\sqrt{a} = 5\sqrt{a} \]
- \( \sqrt{5m} - 3\sqrt{20m} + \sqrt{125m} \)
Упрощаем:
\[ \sqrt{20m} = \sqrt{4 \cdot 5m} = 2\sqrt{5m}, \quad \sqrt{125m} = \sqrt{25 \cdot 5m} = 5\sqrt{5m} \]
Подставляем:
\[ \sqrt{5m} - 3(2\sqrt{5m}) + 5\sqrt{5m} = \sqrt{5m} - 6\sqrt{5m} + 5\sqrt{5m} = 0\sqrt{5m} = 0 \]
3. Выполните действия:
- \( (4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{3} + \sqrt{60} \)
Сначала умножим:
\[ (4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} = 12 - 2\sqrt{15} \]
Теперь добавим \( \sqrt{60} \):
\[ \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \]
Итак, выражение становится:
\[ 12 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 12 \]
- \( (4 - \sqrt{13})(4 + \sqrt{13}) \)
Это выражение представляет собой разность квадратов:
\[ (4 - \sqrt{13})(4 + \sqrt{13}) = 4^2 - (\sqrt{13})^2 = 16 - 13 = 3 \]
- \( (2\sqrt{3} - 1)^2 + 2\sqrt{12} \)
Сначала раскроем квадрат:
\[ (2\sqrt{3} - 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(1) + 1^2 = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3} \]
Теперь упрощаем \( 2\sqrt{12} \):
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} \]
Теперь объединяем:
\[ (13 - 4\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 13 \]
- \( (8 - \sqrt{6})^2 + (5 + \sqrt{6})^2 \)
Сначала раскроем оба квадрата:
\[ (8 - \sqrt{6})^2 = 64 - 16\sqrt{6} + 6 = 70 - 16\sqrt{6} \] \[ (5 + \sqrt{6})^2 = 25 + 10\sqrt{6} + 6 = 31 + 10\sqrt{6} \]
Складываем:
\[ (70 - 16\sqrt{6}) + (31 + 10\sqrt{6}) = 101 - 6\sqrt{6} \]
4. Сократите дробь:
- \( \frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}} \)
Можно использовать разложение на множители:
\[ x^2 - 19 = (x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19}) \] Так что:
\[ \frac{(x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})}{x + \sqrt{19}} = x - \sqrt{19}, \quad x \neq -\sqrt{19} \]
- \( \frac{c + 9\sqrt{c}}{c - 81} \)
Поделим на \( c - 81 = (c - 9)(c + 9) \). Мы не можем сократить, так как \( c + 9\sqrt{c} \) не имеет таких же множителей в числителе и знаменателе.
- \( \frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{a - 25} \)
Здесь можно заметить, что числитель можно представить в виде квадрата:
\[ a - 10\sqrt{a} + 25 = (\sqrt{a} - 5)^2 \]
Так что, если \( a \neq 25 \), получаем:
\[ \frac{(\sqrt{a} - 5)^2}{(\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)} = \frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} \]
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
- \( \frac{27}{2\sqrt{3}} \)
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):
\[ \frac{27\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{27\sqrt{3}}{6} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \]
- \( \frac{41}{\sqrt{47} - \sqrt{6}} \)
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное \( \sqrt{47} + \sqrt{6} \):
\[ \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{47 - 6} = \frac{41(\sqrt{47} + \sqrt{6})}{41} = \sqrt{47} + \sqrt{6} \]
Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужна более подробная помощь по каждому из этих пунктов, не стесняйтесь спрашивать!
