T4-2-t2-3=0

Чтобы решить уравнение \( t^4 - 2t^2 - 3 = 0 \), начнем с того, что упростим его. Обратите внимание, что у нас есть \( t^4 \) и \( t^2 \). Мы можем сделать замену \( x = t^2 \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можем решить с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -3 \).

Подставим значения:

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \]

2. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3, \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1. \]

Теперь у нас есть значения \( x \):

• \( x_1 = 3 \)
• \( x_2 = -1 \)

Теперь возвращаемся к \( t \), поскольку \( x = t^2 \):

1. Если \( t^2 = 3 \), то \( t = \sqrt{3} \) или \( t = -\sqrt{3} \).
2. Если \( t^2 = -1 \), то решение не имеет действительных корней, поскольку квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, окончательные решения уравнения \( t^4 - 2t^2 - 3 = 0 \) будут:

\[ t = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad t = -\sqrt{3}. \]