в куб АБСДА1Б1С1Д1 точки Е,К середина ребра А1Б1 и ДД1 соответственно. Найдите углы между прямыми : а)ББ1 и СД б)ББ1 и БД; в) АБ1 и СД1; г)АВ1 и БС1

Чтобы найти углы между указанными прямыми в кубе, давайте сначала обозначим координаты вершин куба. Предположим, что куб имеет следующую координатную систему:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 1) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( C_1(1, 1, 1) \)
• \( D_1(0, 1, 1) \)

Теперь определим точки \( E \) и \( K \):

• Точка \( E \) — середина ребра \( A_1B_1 \):
  \( E\left(\frac{0 + 1}{2}, 0, 1\right) = E\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right) \)

• Точка \( K \) — середина ребра \( DD_1 \):
  \( K\left(0, \frac{1 + 1}{2}, 0\right) = K(0, 1, 0) \)

Теперь определим все векторы для дальнейших расчетов. Для этого нужно записать координаты точек:

1. \( B(1, 0, 0) \)
2. \( B_1(1, 0, 1) \)
3. \( C(1, 1, 0) \)
4. \( D(0, 1, 0) \)

Теперь найдем косинусы углов между указанными прямыми:

а) Угол между прямыми \( BB_1 \) и \( CD \):

• Вектор \( \overrightarrow{BB_1} = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) \)
• Вектор \( \overrightarrow{CD} = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0) \)

Косинус угла \( \phi \): \[ \cos \phi = \frac{\overrightarrow{BB_1} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{BB_1}||\overrightarrow{CD}|} = \frac{(0, 0, 1) \cdot (-1, 0, 0)}{|(0,0,1)||(-1,0,0)|} = 0 \] Следовательно, угол \( \phi = 90^\circ \).

б) Угол между прямыми \( BB_1 \) и \( BD \):

• Вектор \( \overrightarrow{BD} = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0) \)

Косинус угла \( \theta \): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BB_1} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BB_1}||\overrightarrow{BD}|} = \frac{(0, 0, 1) \cdot (-1, 1, 0)}{|(0, 0, 1)||(-1, 1, 0)|} = 0 \] Следовательно, угол \( \theta = 90^\circ \).

в) Угол между прямыми \( AB_1 \) и \( CD_1 \):

• Вектор \( \overrightarrow{AB_1} = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) \)
• Вектор \( \overrightarrow{CD_1} = (0, 1, 1) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 1) \)

Косинус угла \( \psi \): \[ \cos \psi = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{CD_1}}{|\overrightarrow{AB_1}||\overrightarrow{CD_1}|} = \frac{(1, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1)}{|(1, 0, 1)||(-1, 0, 1)|} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0 \] Следовательно, угол \( \psi = 90^\circ \).

г) Угол между прямыми \( AV_1 \) и \( BS_1 \):

• Вектор \( \overrightarrow{AV_1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1) \)
• Вектор \( \overrightarrow{BS_1} = (1, 0, 1) - (1, 1, 0) = (0, -1, 1) \)

Косинус угла \( \eta \): \[ \cos \eta = \frac{\overrightarrow{AV_1} \cdot \overrightarrow{BS_1}}{|\overrightarrow{AV_1}||\overrightarrow{BS_1}|} = \frac{(1, 1, 1) \cdot (0, -1, 1)}{|(1, 1, 1)||(-1, 1)|} = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 \] Следовательно, угол \( \eta = 90^\circ \).

Таким образом, все углы между указанными прямыми равны \( 90^\circ \).