(х-6) (х-10) (х+15) >0

Чтобы решить неравенство \((x - 6)(x - 10)(x + 15) > 0\), начнем с нахождения корней, при которых произведение равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)
2. \(x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10\)
3. \(x + 15 = 0 \Rightarrow x = -15\)

Теперь у нас есть три корня: \(x = -15\), \(x = 6\) и \(x = 10\). Эти корни делят числовую прямую на четыре промежутка:

1. \((- \infty; -15)\)
2. \((-15; 6)\)
3. \((6; 10)\)
4. \((10; + \infty)\)

Теперь можно проверить знак произведения \((x - 6)(x - 10)(x + 15)\) на каждом из промежутков:

1. Для региона \((- \infty; -15)\), выберем точку \(x = -20\): \((-20 - 6)(-20 - 10)(-20 + 15) = (-26)(-30)(-5) < 0\)

2. Для региона \((-15; 6)\), выберем точку \(x = 0\): \((0 - 6)(0 - 10)(0 + 15) = (-6)(-10)(15) > 0\)

3. Для региона \((6; 10)\), выберем точку \(x = 8\): \((8 - 6)(8 - 10)(8 + 15) = (2)(-2)(23) < 0\)

4. Для региона \((10; + \infty)\), выберем точку \(x = 12\): \((12 - 6)(12 - 10)(12 + 15) = (6)(2)(27) > 0\)

Теперь мы знаем знаки на промежутках:

• \((- \infty; -15)\): отрицательное
• \((-15; 6)\): положительное
• \((6; 10)\): отрицательное
• \((10; + \infty)\): положительное

Поскольку мы ищем, когда произведение больше нуля, решениями будут промежутки \((-15; 6)\) и \((10; + \infty)\).

В итоге, неравенство \((x - 6)(x - 10)(x + 15) > 0\) выполняется для:

\[ x \in (-15; 6) \cup (10; +\infty) \]