(х+5) (х+7) (х-11) <0

Чтобы решить неравенство \((x + 5)(x + 7)(x - 11) < 0\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем корни уравнения: Для этого нужно приравнять каждый из множителей к нулю:

   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
   • \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
   • \(x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11\)

   Таким образом, мы имеем три корня: \(x = -7\), \(x = -5\) и \(x = 11\).

2. Определим интервалы: Эти корни делят числовую прямую на четыре интервала:

   • \((-\infty, -7)\)
   • \((-7, -5)\)
   • \((-5, 11)\)
   • \((11, +\infty)\)

3. Проверим знак произведения на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \((x + 5)(x + 7)(x - 11)\):

   • Для интервала \((-\infty, -7)\), например, \(x = -8\): \[ (-8 + 5)(-8 + 7)(-8 - 11) = (-3)(-1)(-19) < 0 \]

   • Для интервала \((-7, -5)\), например, \(x = -6\): \[ (-6 + 5)(-6 + 7)(-6 - 11) = (-1)(1)(-17) > 0 \]

   • Для интервала \((-5, 11)\), например, \(x = 0\): \[ (0 + 5)(0 + 7)(0 - 11) = (5)(7)(-11) < 0 \]

   • Для интервала \((11, +\infty)\), например, \(x = 12\): \[ (12 + 5)(12 + 7)(12 - 11) = (17)(19)(1) > 0 \]

4. Соберем результаты: Мы ищем, где произведение отрицательно:

   • \((-\infty, -7)\) - отрицательно
   • \((-7, -5)\) - положительно
   • \((-5, 11)\) - отрицательно
   • \((11, +\infty)\) - положительно

5. Запишем ответ: Решение неравенства \((x + 5)(x + 7)(x - 11) < 0\) — это объединение интервалов, где произведение отрицательно: \[ x \in (-\infty, -7) \cup (-5, 11) \]

Таким образом, ответом является \( (-\infty, -7) \cup (-5, 11) \). Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, буду рад помочь!