Определи координаты точек пересечения параболы 𝑦 = 16 𝑥 2 y=16x 2 и прямой 𝑦 = − 28 𝑥 + 18 y=−28x+18.
Чтобы найти координаты точек пересечения параболы \( y = 16x^2 \) и прямой \( y = -28x + 18 \), необходимо приравнять оба уравнения:
\[ 16x^2 = -28x + 18. \]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[ 16x^2 + 28x - 18 = 0. \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 16 \), \( b = 28 \), \( c = -18 \).
Подставим значения в формулу:
\[ D = 28^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-18) = 784 + 1152 = 1936. \]
Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{1936}}{2 \cdot 16}. \]
Вычислим корень:
\[ \sqrt{1936} = 44. \]
Теперь подставим это значение:
\[ x_1 = \frac{-28 + 44}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-28 - 44}{32} = \frac{-72}{32} = -\frac{9}{4}. \]
Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для этих \( x \):
Для \( x_1 = \frac{1}{2} \): \[ y = 16\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4. \] Таким образом, первая точка пересечения: \( \left(\frac{1}{2}, 4\right) \).
Для \( x_2 = -\frac{9}{4} \): \[ y = 16\left(-\frac{9}{4}\right)^2 = 16 \cdot \frac{81}{16} = 81. \] Таким образом, вторая точка пересечения: \( \left(-\frac{9}{4}, 81\right) \).
Итак, координаты точек пересечения параболы и прямой:
\[ \left(\frac{1}{2}, 4\right) \quad \text{и} \quad \left(-\frac{9}{4}, 81\right). \]
