2. Решите задачу с помощью системы уравнений. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В вышел автобус, а через 15 мин - легковая машина, скорость которой…

Давайте решим эту задачу с помощью системы уравнений.

1. Обозначим скорость автобуса как \( v \) км/ч. Тогда скорость легковой машины будет \( v + 12 \) км/ч.

2. Расстояние между городами А и В равно 120 км. Скорость и время связаны следующим образом: \( \text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время} \).

3. Автобус выехал в первый момент времени, а легковая машина – через 15 минут, что соответствует \( \frac{15}{60} = 0.25 \) часа. Таким образом, если автобус находится в пути \( t \) часов, то легковая машина в пути \( t - 0.25 \) часов.

4. Теперь запишем уравнения для времени в пути:

   • Время в пути автобуса: \( t = \frac{120}{v} \)
   • Время в пути легковой машины: \( t - 0.25 = \frac{120}{v + 12} \)

5. Так как легковая машина пришла на 5 минут раньше, то у нас есть: \[ t - 0.25 = t - \frac{5}{60} = t - \frac{1}{12} \]

6. Подставим первое уравнение в второе: \[ \frac{120}{v} - 0.25 = \frac{120}{v + 12} - \frac{1}{12} \]

7. Упростим это уравнение. Перепишем его: \[ \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 12} = 0.25 - \frac{1}{12} \]

8. Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю: \[ 0.25 = \frac{3}{12}, \quad \text{поэтому } 0.25 - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}. \]

9. Теперь у нас есть: \[ \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 12} = \frac{1}{6} \]

10. Умножим обе стороны на \( 6v(v + 12) \) для устранения дробей: \[ 720(v + 12) - 720v = v(v + 12). \]

11. Упростим уравнение: \[ 720 \times 12 = v^2 + 12v \quad \Rightarrow \quad 8640 = v^2 + 12v. \]

12. Переносим всё в одну сторону: \[ v^2 + 12v - 8640 = 0. \]

13. Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \times 1 \times (-8640) = 144 + 34560 = 34504. \]

14. Находим корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{34504}}{2}. \]

15. Приблизительно, \( \sqrt{34504} \approx 185 \), поэтому: \[ v \approx \frac{-12 + 185}{2} \approx \frac{173}{2} \approx 86.5 \text{ км/ч}. \]

16. Теперь скорость легковой машины: \[ v + 12 \approx 86.5 + 12 \approx 98.5 \text{ км/ч}. \]

Таким образом, скорость автобуса составляет примерно 86.5 км/ч, а скорость легковой машины - примерно 98.5 км/ч.