Самостоятельная работа а) 12 и 32; б) 14 и 42; в) 360 и 336; Вариант 2 1. Найдите наибольший общий делитель чисел: 2.Составьте из чисел 14, 18, 55, 35 все пары взаимно простых чисел. 3. Докажите, что числа 715 и 567 — взаимно простые. 4.В гостиницу завезли 108 кроватей и 72 шкафа, которые поровну распределили по номерам. Сколько номеров в гостинице, если известно, что их больше 30? г) 32, 96 и 112.

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 12 и 32:

• Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) можем воспользоваться разложением на простые множители:
  • 12 = 2² * 3
  • 32 = 2⁵
• НОД будет равен 2 в минимальной степени, то есть 2² = 4.

б) 14 и 42:

• Разложим на простые множители:
  • 14 = 2 * 7
  • 42 = 2 * 3 * 7
• НОД = 2¹ * 7¹ = 14.

в) 360 и 336:

• Разложение:
  • 360 = 2³ * 3² * 5
  • 336 = 2⁴ * 3 * 7
• НОД = 2³ * 3¹ = 24.

г) 32, 96 и 112:

• Разложение:
  • 32 = 2⁵
  • 96 = 2⁵ * 3
  • 112 = 2⁴ * 7
• НОД = 2⁴ = 16.

2. Составьте из чисел 14, 18, 55, 35 все пары взаимно простых чисел.

Пары взаимно простых чисел:

• (14, 55) – НОД(14, 55) = 1
• (14, 35) – НОД(14, 35) = 7 (не взаимно простые)
• (18, 55) – НОД(18, 55) = 1
• (18, 35) – НОД(18, 35) = 1
• (55, 35) – НОД(55, 35) = 5 (не взаимно простые)

Итак, взаимно простые пары: (14, 55), (18, 55), (18, 35).

3. Докажите, что числа 715 и 567 — взаимно простые.

Для того чтобы доказать, что 715 и 567 взаимно простые, найдем их НОД.

• Разложение на простые множители:
  • 715 = 5 * 11 * 13
  • 567 = 3 * 189 = 3 * 3 * 21 = 3² * 7 * 3
• Поскольку у 715 и 567 нет общих делителей (находятся различные множители), следовательно, НОД(715, 567) = 1, и они взаимно простые.

4. В гостиницу завезли 108 кроватей и 72 шкафа, которые поровну распределили по номерам. Сколько номеров в гостинице, если известно, что их больше 30?

Для нахождения количества номеров необходимо найти НОД (108 и 72), чтобы узнать, на сколько равных частей можно разделить эти предметы.

• Разложение:
  • 108 = 2² * 3³
  • 72 = 2³ * 3²
• НОД = 2² * 3² = 36.

Теперь, чтобы найти количество номеров, делим общее количество предметов на НОД:

• Кровати: 108 / 36 = 3
• Шкафы: 72 / 36 = 2

Итак, всего у нас есть 36 номеров, что больше 30.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим темам, пожалуйста, напишите!