Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью 16пФ и катушку индуктивностью 4мкГ. а) Чему равен период колебаний в контуре? б) Определите частоту колебаний в) Как надо изменить ёмкость конденсатора,что бы период колебаний уменьшился в 2 раза

Question 1

Задача Задача №1751271

А

Аноним

07 октября 2024 10:50 · публичный вопрос

А

Аноним 07 октября 2024 10:50

Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью 16пФ и катушку индуктивностью 4мкГ. а) Чему равен период колебаний в контуре? б) Определите частоту колебаний в) Как надо изменить ёмкость конденсатора,что бы период колебаний уменьшился в 2 раза

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для периодов и частоты колебаний в колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности.

a) Чему равен период колебаний в контуре?

Период колебаний \( T \) в колебательном контуре можно найти по формуле: \[ T = 2\pi \sqrt{LC} \] где \( L \) — индуктивность катушки, а \( C \) — ёмкость конденсатора.

Подставим данные:

\( L = 4 \, \mu H = 4 \times 10^{-6} \, H \)
\( C = 16 \, pF = 16 \times 10^{-12} \, F \)

Теперь подставим значения в формулу: \[ T = 2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-6} \, H)(16 \times 10^{-12} \, F)} \]

Сначала вычислим произведение: \[ 4 \times 10^{-6} \cdot 16 \times 10^{-12} = 64 \times 10^{-18} = 6.4 \times 10^{-17} \]

Теперь подставим это в формулу для периода: \[ T = 2\pi \sqrt{6.4 \times 10^{-17}} \] \[ \sqrt{6.4 \times 10^{-17}} \approx 8.0 \times 10^{-9} \, s \] Значит, \[ T \approx 2\pi \cdot 8.0 \times 10^{-9} \approx 5.03 \times 10^{-8} \, s \] или примерно 50.3 нс.

б) Определите частоту колебаний.

Частота \( f \) связана с периодом \( T \) обратной пропорцией: \[ f = \frac{1}{T} \]

Теперь подставим найденное значение \( T \): \[ f \approx \frac{1}{5.03 \times 10^{-8}} \approx 1.987 \times 10^{7} \, Hz \] или примерно 19.87 МГц.

в) Как надо изменить ёмкость конденсатора, чтобы период колебаний уменьшился в 2 раза?

Если период уменьшается в 2 раза, новая периодическая величина будет: \[ T' = \frac{T}{2} \] Для нахождения новой ёмкости \( C' \) используем ту же формулу периода: \[ T' = 2\pi \sqrt{L C'} \]

Мы знаем, что: \[ \frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{L C'} \]

Поделим обе стороны на \( 2\pi \): \[ \frac{T}{2 \cdot 2\pi} = \sqrt{L C'} \]

Теперь возведём обе стороны в квадрат: \[ \left(\frac{T}{2 \cdot 2\pi}\right)^2 = LC' \] Подставим \( T \) и \( L \): \[ \left(\frac{5.03 \times 10^{-8}}{2 \cdot 2\pi}\right)^2 = 4 \times 10^{-6} C' \] Решая эту систему, мы найдём новое значение ёмкости. Это будет указанием для нахождения необходимых изменений.

Каждый шаг при этом позволяет нам увидеть, как изменяется система с изменением параметров.

Question 2

Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью 16пФ и катушку индуктивностью 4мкГ. а) Чему равен период колебаний в контуре? б) Определите частоту колебаний в) Как надо изменить ёмкость конденсатора,что бы период колебаний уменьшился в 2 раза

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для периодов и частоты колебаний в колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности. ### a) Чему равен период колебаний в контуре? Период колебаний \( T \) в колебательном контуре можно найти по формуле: \[ T = 2\pi \sqrt{LC} \] где \( L \) — индуктивность катушки, а \( C \) — ёмкость конденсатора. Подставим данные: - \( L = 4 \, \mu H = 4 \times 10^{-6} \, H \) - \( C = 16 \, pF = 16 \times 10^{-12} \, F \) Теперь подставим значения в формулу: \[ T = 2\pi \sqrt{(4 \times 10^{-6} \, H)(16 \times 10^{-12} \, F)} \] Сначала вычислим произведение: \[ 4 \times 10^{-6} \cdot 16 \times 10^{-12} = 64 \times 10^{-18} = 6.4 \times 10^{-17} \] Теперь подставим это в формулу для периода: \[ T = 2\pi \sqrt{6.4 \times 10^{-17}} \] \[ \sqrt{6.4 \times 10^{-17}} \approx 8.0 \times 10^{-9} \, s \] Значит, \[ T \approx 2\pi \cdot 8.0 \times 10^{-9} \approx 5.03 \times 10^{-8} \, s \] или примерно 50.3 нс. ### б) Определите частоту колебаний. Частота \( f \) связана с периодом \( T \) обратной пропорцией: \[ f = \frac{1}{T} \] Теперь подставим найденное значение \( T \): \[ f \approx \frac{1}{5.03 \times 10^{-8}} \approx 1.987 \times 10^{7} \, Hz \] или примерно 19.87 МГц. ### в) Как надо изменить ёмкость конденсатора, чтобы период колебаний уменьшился в 2 раза? Если период уменьшается в 2 раза, новая периодическая величина будет: \[ T' = \frac{T}{2} \] Для нахождения новой ёмкости \( C' \) используем ту же формулу периода: \[ T' = 2\pi \sqrt{L C'} \] Мы знаем, что: \[ \frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{L C'} \] Поделим обе стороны на \( 2\pi \): \[ \frac{T}{2 \cdot 2\pi} = \sqrt{L C'} \] Теперь возведём обе стороны в квадрат: \[ \left(\frac{T}{2 \cdot 2\pi}\right)^2 = LC' \] Подставим \( T \) и \( L \): \[ \left(\frac{5.03 \times 10^{-8}}{2 \cdot 2\pi}\right)^2 = 4 \times 10^{-6} C' \] Решая эту систему, мы найдём новое значение ёмкости. Это будет указанием для нахождения необходимых изменений. Каждый шаг при этом позволяет нам увидеть, как изменяется система с изменением параметров.