Log6 5 *log5 8 + log6 27

Чтобы упростить выражение \( \log_6 5 \cdot \log_5 8 + \log_6 27 \), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Начнём с первого произведения \( \log_6 5 \cdot \log_5 8 \). Мы можем использовать замену оснований. Применим формулу: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \] Для удобства выберем основание \( 10 \) или \( e \) (натуральный логарифм). В этом случае у нас получится: \[ \log_6 5 = \frac{\log 5}{\log 6}, \quad \log_5 8 = \frac{\log 8}{\log 5} \] Таким образом, произведение станет: \[ \log_6 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log 5}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 5} = \frac{\log 8}{\log 6} \]

2. Теперь подставим это в исходное выражение: \[ \log_6 5 \cdot \log_5 8 + \log_6 27 = \frac{\log 8}{\log 6} + \log_6 27 \] Также применим замену основания для последнего логарифма: \[ \log_6 27 = \frac{\log 27}{\log 6} \]

3. Теперь объединим оба выражения: \[ \frac{\log 8}{\log 6} + \frac{\log 27}{\log 6} = \frac{\log 8 + \log 27}{\log 6} \] С использованием свойства логарифмов \( \log a + \log b = \log(ab) \), мы можем написать это как: \[ \frac{\log (8 \cdot 27)}{\log 6} \]

4. Вычислим \( 8 \cdot 27 = 216 \): \[ \frac{\log 216}{\log 6} \]

5. Теперь, чтобы упростить это выражение, мы можем рассмотреть \( 216 \) и \( 6 \): \[ 216 = 6^3 \] Соответственно: \[ \log 216 = \log (6^3) = 3 \cdot \log 6 \]

6. Подставим это обратно в выражение: \[ \frac{3 \cdot \log 6}{\log 6} = 3 \]

Таким образом, итоговый ответ: \[ \log_6 5 \cdot \log_5 8 + \log_6 27 = 3 \]