Найти дифференциал функции у, если y=In(sin x/x)

Чтобы найти дифференциал функции \( y = \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right) \), сначала необходимо воспользоваться производной логарифмической функции и правилами дифференцирования.

1. Начнем с нахождения производной \( y \): \[ y = \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right) \]

2. Используя свойство логарифмов, можем переписать: \[ y = \ln(\sin x) - \ln(x) \]

3. Теперь применим правило производной к каждому члену: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(\sin x)) - \frac{d}{dx}(\ln(x)) \]

4. Для первого члена, применяя цепное правило, получаем: \[ \frac{d}{dx}(\ln(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x \]

5. Для второго члена: \[ \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \]

6. Собирая все вместе, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = \cot x - \frac{1}{x} \]

7. Теперь, чтобы записать дифференциал, используем: \[ dy = \left(\cot x - \frac{1}{x}\right)dx \]

Таким образом, дифференциал функции \( y \) будет равен: \[ dy = \left(\cot x - \frac{1}{x}\right)dx \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу, не стесняйтесь их задавать!