Геометри 8 класс задача докажите что серединой сторон четырёх угольника являются вершинами параллелограмма

Чтобы доказать, что средние точки сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, рассмотрим четырехугольник ABCD. Обозначим средние точки сторон AB, BC, CD и DA как M, N, P и Q соответственно.

1. Определение средних точек:

   • Точка M является средней точкой отрезка AB.
   • Точка N является средней точкой отрезка BC.
   • Точка P является средней точкой отрезка CD.
   • Точка Q является средней точкой отрезка DA.

2. Векторное представление:

   • Обозначим векторы вершин следующим образом:
     • A = A
     • B = B
     • C = C
     • D = D
   • Тогда:
     • M = (A + B) / 2
     • N = (B + C) / 2
     • P = (C + D) / 2
     • Q = (D + A) / 2

3. Показать, что MN параллельно PQ и NP параллельно MQ:

   • Вектор MN: \[ MN = N - M = \left(\frac{B + C}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{C - A}{2} \]
   • Вектор PQ: \[ PQ = Q - P = \left(\frac{D + A}{2} - \frac{C + D}{2}\right) = \frac{A - C}{2} \]
   • Мы видим, что MN и PQ параллельны, так как один вектор является отрицательной половиной другого.

4. Теперь покажем, что NP и MQ также параллельны:

   • Вектор NP: \[ NP = P - N = \left(\frac{C + D}{2} - \frac{B + C}{2}\right) = \frac{D - B}{2} \]
   • Вектор MQ: \[ MQ = Q - M = \left(\frac{D + A}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{D - B}{2} \]
   • Также NP и MQ параллельны, так как оба вектора равны.

Таким образом, мы доказали, что средние точки сторон четырехугольника ABCD (M, N, P, Q) образуют параллелограмм.