Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что AB = 12 см, угол AOB = 60°. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины…

Для решения задачи начнем с того, что диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Так как AB = 12 см, то длина стороны BC (или AD) будет равна длине стороны AB, т.е. также 12 см, поскольку ABCD – прямоугольник.

1. Найдем длины диагоналей AC и BD. По свойствам прямоугольника, диагонали равны и могут быть найдены с помощью теоремы Пифагора:

   \[ AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см}. \]

2. Поскольку O – середина диагоналей, то AO = OC = BO = OD = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD. Назовем эти середины M, N, P, Q. Тогда:

   • M – середина AB,
   • N – середина BC,
   • P – середина CD,
   • Q – середина DA.

4. Длину отрезка MN, который параллелен стороне AD, можно найти, как половину AB: \[ MN = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}. \]

5. Аналогично, длина отрезка NP, параллельного BC, также будет: \[ NP = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}. \]

6. Периметр четырехугольника MNPQ равен сумме всех его сторон: \[ P = MN + NP + PQ + QM = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 \text{ см}. \]

Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD, составляет 24 см.