«Математические основы информатики» Вариант 2. Часть 1. Система счисления 1. Переведите числа в десятичную систему счисления: b) 14B16 б) 3718 a) 10011012 2. Переведите целое…

Конечно! Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

Часть 1. Система счисления

1. Переведите числа в десятичную систему счисления:

   b) \( 14B_{16} \):

   • \( 1 \times 16^2 + 4 \times 16^1 + B \times 16^0 \)
   • \( 1 \times 256 + 4 \times 16 + 11 \times 1 = 256 + 64 + 11 = 331 \)
   • Ответ: 331

   а) \( 1001101_{2} \):

   • \( 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)
   • \( 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77 \)
   • Ответ: 77

   б) \( 371_{8} \):

   • \( 3 \times 8^2 + 7 \times 8^1 + 1 \times 8^0 \)
   • \( 3 \times 64 + 7 \times 8 + 1 = 192 + 56 + 1 = 249 \)
   • Ответ: 249

2. Переведите целое десятичное число 156 в двоичную систему счисления:

   • Делим число 156 на 2 и записываем остатки:
     • 156 ÷ 2 = 78 (остаток 0)
     • 78 ÷ 2 = 39 (остаток 0)
     • 39 ÷ 2 = 19 (остаток 1)
     • 19 ÷ 2 = 9 (остаток 1)
     • 9 ÷ 2 = 4 (остаток 1)
     • 4 ÷ 2 = 2 (остаток 0)
     • 2 ÷ 2 = 1 (остаток 0)
     • 1 ÷ 2 = 0 (остаток 1)
   • Читаем остатки снизу вверх: \( 10011100_{2} \)
   • Ответ: 10011100

3. Среди приведённых чисел найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной записи наименьшая:

   • \( 55_{10} \) в восьмеричной: \( 67_{8} \) => сумма цифр: \( 6 + 7 = 13 \)
   • \( 83_{10} \) в восьмеричной: \( 123_{8} \) => сумма цифр: \( 1 + 2 + 3 = 6 \)
   • \( 91_{10} \) в восьмеричной: \( 133_{8} \) => сумма цифр: \( 1 + 3 + 3 = 7 \)
   • Минимальная сумма - у числа 83, сумма: 6

4. Найдите максимальное число среди чисел, записанных в различных системах счисления:

   • \( 38_{16} = 3 \times 16^1 + 8 \times 16^0 = 56_{10} \)
   • \( 75_{8} = 7 \times 8^1 + 5 \times 8^0 = 61_{10} \)
   • \( 110100_{2} = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 52_{10} \)
   • Максимальное - это \( 75_{8} \) = 61.
   • Ответ: 61

5. Выполните сложение над двоичными числами \( 11010101_{2} \) и \( 11110011_{2} \):

        11010101
   +    11110011
   ----------------
      110001000
   

   • Ответ: 110001000

Часть 2. Алгебра логика

6. Для какого из указанных значений числа \( X \) истинно выражение \( (X<3) \land ((X<2) \lor (X>2)) \):

   • \( X = 1 \): \( (1<3) \) и \( (1<2 \lor 1>2) \): истинно.
   • \( X = 2 \): \( (2<3) \) и \( (2<2 \lor 2>2) \): ложно.
   • \( X = 3 \): \( (3<3) \): ложно.
   • \( X = 4 \): \( (4<3) \): ложно.
   • Ответ: 1

7. Для какого из приведённых имён истинно высказывание: НЕ(Первая буква гласная) И (Последняя буква гласная):

   • Николай: переработка, конечная: й (не гласная).
   • Марина: первая - м (не гласная), конечная - а (гласная).
   • Иван: первая - и (гласная).
   • Юрий: первая - ю (гласная), конечная - и (гласная).
   • Ответ: Николай

8. Составить таблицу истинности для выражений:

   a) \( (A \land B) \lor B \)

   A	B	\( A \land B \)	\( (A \land B) \lor B \)
   0	0	0	0
   0	1	0	1
   1	0	0	0
   1	1	1	1

   б) \( B \land (A \lor B) \)

   A	B	\( A \lor B \)	\( B \land (A \lor B) \)
   0	0	0	0
   0	1	1	1
   1	0	1	0
   1	1	1	1

Эти решения помогут вам в подготовке к экзамену! Если у вас будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!