Найти обьем пирамиды ABCD AB= (4;-3;-6) AC=(3;5;-8)AD=(3;8;-9) AD=(3;8;-9)

Для того чтобы найти объем пирамиды ABCD, начнем с того, что нам нужно определить векторные координаты всех вершин. У нас есть следующие точки:

• \( A(0, 0, 0) \) (точка A по умолчанию).
• \( B(4, -3, -6) \).
• \( C(3, 5, -8) \).
• \( D(3, 8, -9) \).

Объем пирамиды можно вычислить с помощью формулы:

\[ V = \frac{1}{6} | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) | \]

Где:

• \( \vec{AB} = B - A = (4 - 0, -3 - 0, -6 - 0) = (4, -3, -6) \)
• \( \vec{AC} = C - A = (3 - 0, 5 - 0, -8 - 0) = (3, 5, -8) \)
• \( \vec{AD} = D - A = (3 - 0, 8 - 0, -9 - 0) = (3, 8, -9) \)

Теперь найдём векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AD} \):

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 5 & -8 \\ 3 & 8 & -9 \end{vmatrix} \]

Решая определитель, получим:

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \mathbf{i} (5(-9) - (-8)(8)) - \mathbf{j} (3(-9) - (-8)(3)) + \mathbf{k} (3(8) - 5(3)) \]

Это упростим:

\[ = \mathbf{i} (-45 + 64) - \mathbf{j} (-27 + 24) + \mathbf{k} (24 - 15) \]

Таким образом, у нас получится:

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \mathbf{i}(19) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(9) = (19, 3, 9) \]

Теперь берем скалярное произведение с вектором \( \vec{AB} \):

\[ \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = (4, -3, -6) \cdot (19, 3, 9) \]

Вычислим это:

\[ = 4 \cdot 19 + (-3) \cdot 3 + (-6) \cdot 9 = 76 - 9 - 54 = 13 \]

Теперь подставим всё в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{6} |13| = \frac{13}{6} \]

Таким образом, объем пирамиды ABCD составляет \( \frac{13}{6} \) кубических единиц.