\ [[x/y + (6y)/x = 5], [x ^ 2 + 4xy - 3y ^ 2 = 18]]

Чтобы решить систему уравнений

1. \(\frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5\)
2. \(x^2 + 4xy - 3y^2 = 18\),

начнем с первого уравнения.

1. Решение первого уравнения:

Уравнение можно переписать следующим образом:

\[\frac{x^2 + 6y^2}{xy} = 5.\]

Умножим обе стороны на \(xy\):

\[x^2 + 6y^2 = 5xy.\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[x^2 - 5xy + 6y^2 = 0.\]

2. Параметризация уравнения:

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Применим формулу корней для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где:

• \(A = 1\)
• \(B = -5y\)
• \(C = 6y^2\)

Корни уравнения можно найти по формуле:

\[ x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}. \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{5y \pm \sqrt{(-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6y^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5y \pm \sqrt{25y^2 - 24y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{y^2}}{2}. \]

Это упрощается до:

\[ x = \frac{5y \pm y}{2}. \]

3. Получаем два случая:

1. \(x = 3y\)
2. \(x = 2y\)

4. Теперь подставим каждое значение \(x\) во второе уравнение:

Случай 1: \(x = 3y\)

Подставляем в \(x^2 + 4xy - 3y^2 = 18\):

\[(3y)^2 + 4(3y)y - 3y^2 = 18 \Rightarrow 9y^2 + 12y^2 - 3y^2 = 18 \Rightarrow 18y^2 = 18 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = 1 \text{ или } y = -1.\]

Следовательно,

1. Если \(y = 1\), тогда \(x = 3\).
2. Если \(y = -1\), тогда \(x = -3\).

Случай 2: \(x = 2y\)

Подставляем в уравнение:

\[(2y)^2 + 4(2y)y - 3y^2 = 18 \Rightarrow 4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 18 \Rightarrow 9y^2 = 18 \Rightarrow y^2 = 2 \Rightarrow y = \sqrt{2} \text{ или } y = -\sqrt{2}.\]

Следовательно,

1. Если \(y = \sqrt{2}\), тогда \(x = 2\sqrt{2}\).
2. Если \(y = -\sqrt{2}\), тогда \(x = -2\sqrt{2}\).

5. Заключение:

Мы нашли все пары \((x, y)\):

1. \((3, 1)\)
2. \((-3, -1)\)
3. \((2\sqrt{2}, \sqrt{2})\)
4. \((-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})\)

Если вы будете иметь дополнительные вопросы или нужно будет что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!