Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
Для нахождения третьей стороны треугольника, мы можем использовать закон косинусов. Закон косинусов утверждает, что если в треугольнике имеются стороны \(a\), \(b\) и угол \(\gamma\) между ними, то третья сторона \(c\) вычисляется по формуле:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]
В данном случае:
- \(a = 10\) см
- \(b = 12\) см
- \(\gamma = 60^\circ\)
Подставим значения в формулу:
\[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) \]
Зная, что \(\cos(60^\circ) = 0.5\):
\[ c^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 100 + 144 - 120 \] \[ c^2 = 124 \] \[ c = \sqrt{124} \approx 11.14 \text{ см} \]
Теперь найдем площадь треугольника. Площадь можно вычислить с помощью формулы:
\[ S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) \]
Где:
- \(a = 10\) см
- \(b = 12\) см
- \(\gamma = 60^\circ\)
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) \]
Зная, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2 \]
Таким образом, третья сторона треугольника составляет примерно \(11.14\) см, а его площадь равна \(30\sqrt{3} \approx 51.96\) см².
