X/y - 2y/x =1,\\ x ^ 2 - 5xy + 2y ^ 2 = 3

Чтобы решить систему уравнений

1. \( \frac{x}{y} - \frac{2y}{x} = 1 \)

2. \( x^2 - 5xy + 2y^2 = 3 \)

начнём с первого уравнения.

Перепишем его в более удобной форме. Умножим обе стороны на \( xy \), чтобы избавиться от дробей:

\[ x^2 - 2y^2 = xy. \]

Теперь у нас есть

\[ x^2 - xy - 2y^2 = 0. \]

Это квадратное уравнение по \( x \). Используем формулу корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -y \), и \( c = -2y^2 \).

Подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{y \pm \sqrt{(-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2y^2)}}{2 \cdot 1}. \]

Упрощаем подкоренное выражение:

\[ x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 8y^2}}{2} = \frac{y \pm \sqrt{9y^2}}{2} = \frac{y \pm 3y}{2}. \]

Это даёт нам два возможных значения для \( x \):

1. \( x = \frac{4y}{2} = 2y \)

2. \( x = \frac{-2y}{2} = -y \)

Теперь подставим оба значения \( x \) во второе уравнение \( x^2 - 5xy + 2y^2 = 3 \).

Для \( x = 2y \):

\[ (2y)^2 - 5(2y)y + 2y^2 = 3, \]

то есть

\[ 4y^2 - 10y^2 + 2y^2 = 3 \implies -4y^2 = 3 \implies y^2 = -\frac{3}{4}. \]

Отрицательный корень говорит о том, что это решение не имеет смысла в действительных числах.

Для \( x = -y \):

Подставим в уравнение:

\[ (-y)^2 - 5(-y)y + 2y^2 = 3, \]

что эквивалентно

\[ y^2 + 5y^2 + 2y^2 = 3 \implies 8y^2 = 3 \implies y^2 = \frac{3}{8} \implies y = \pm \sqrt{\frac{3}{8}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}. \]

Теперь найдём \( x \):

\( x = -y \)

Таким образом:

\( x = -\frac{\sqrt{6}}{4} \) и \( x = \frac{\sqrt{6}}{4} \).

Итак, у нас есть два решения:

1. \( \left(x, y\right) = \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{4}\right) \)

2. \( \left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{4}, -\frac{\sqrt{6}}{4}\right) \)

Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!