В треугольнике АВС угол А =45°, угол В=60°, ВС=5√6. найти АС

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где угол \( A = 45^\circ \), угол \( B = 60^\circ \), а сторона \( BC = 5\sqrt{6} \), можем воспользоваться теорией синусов.

Сначала найдем угол \( C \): \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. \]

Теперь по теореме синусов у нас есть следующая формула: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где:

• \( a \) — сторона \( BC \),
• \( b \) — сторона \( AC \),
• \( c \) — сторона \( AB \).

Подставим известные значения: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \] Здесь \( BC = 5\sqrt{6} \), \( A = 45^\circ \), и \( B = 60^\circ \). Таким образом, можем записать: \[ \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}. \]

Используем значения синусов: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Теперь равенство превращается в: \[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упрощаем: \[ 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Сокращаем: \[ 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = AC \cdot \sqrt{3}. \]

Теперь высчитаем \( 5\sqrt{12} = 10\sqrt{3} \): \[ 10\sqrt{3} = AC \cdot \sqrt{3}. \]

Делим обе стороны на \( \sqrt{3} \): \[ AC = 10. \]

Таким образом, \( AC = 10 \).