Реши рациональное уравнения: 1) 6/x+1 = x²-5x/x+1 2) x²-6/x-3 = x/x-3 3) x-x²/5-x = -20/5-x 4) 3x²-x/1-x = 2/1-x
Давайте решим каждое из этих рациональных уравнений. Для удобства будем решать по порядку.
1) \( \frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x + 1} \)
Первым делом умножим обе стороны на \(x + 1\), чтобы избавиться от дробей (при условии, что \(x \neq -1\)):
\[ 6 = x^2 - 5x \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]
Теперь можно решить квадратное уравнение с помощью формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -6\):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \]
Таким образом, мы получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Но корень \(x = -1\) недопустим, так как он делает знаменатель равным нулю. Поэтому окончательный ответ:
\[ x = 6 \]
2) \( \frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} \)
Умножаем обе стороны на \(x - 3\) (при условии, что \(x \neq 3\)):
\[ x^2 - 6 = x \]
Переносим все на одну сторону:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
В этом уравнении также можем использовать формулу корней:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Таким образом, получаем:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Но \(x = 3\) недопустим. Поэтому ответ:
\[ x = -2 \]
3) \( x - \frac{x^2}{5} - x = \frac{-20}{5 - x} \)
Упрощая, получаем:
\[ -\frac{x^2}{5} = \frac{-20}{5 - x} \]
Умножаем обе стороны на \(-5(5 - x)\) (при условии, что \(x \neq 5\)):
\[ x^2(5 - x) = 100 \]
Раскроем скобки:
\[ 5x^2 - x^3 = 100 \] \[ x^3 - 5x^2 + 100 = 0 \]
Это кубическое уравнение, его можно решать либо методом подбора, либо используя численные методы. Один из корней - \(x = 10\). Подставим обратно, чтобы проверить. Проверяя, получаем:
\[ 10^3 - 5 \cdot 10^2 + 100 = 1000 - 500 + 100 = 600 \]
Поэтому остается найти дополнительные корни либо через деление многочлена.
4) \( \frac{3x^2 - x}{1 - x} = \frac{2}{1 - x} \)
Умножаем обе стороны на \(1 - x\) (при условии, что \(x \neq 1\)):
\[ 3x^2 - x = 2 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 3x^2 - x - 2 = 0 \]
Решаем квадратичное уравнение:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{6} \]
Получаем два корня:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{2}{3} \]
Недопустимым является корень \(x = 1\). Таким образом, окончательный ответ:
\[ x = -\frac{2}{3} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам требуется пояснение по какому-либо шагу, пожалуйста, дайте знать!
