81. Движения четырех материальных точек заданы сле дующими уравнениями соответственно: x_{1} = 10t + 0.4t ^ 2 x_{2} = 2t - t ^ 2 x_{3} = - 4t + 2t ^ 2 x_{4} = - t - 6t ^ 2 Написать уравнение v = v(t) для каждой точки; построить графики этих зависи- мостей; описать движение каждой точки.

Для каждой из четырех материальных точек мы можем найти уравнение скорости \( v(t) \), используя производные уравнений перемещения \( x(t) \) по времени \( t \). Уравнения перемещения уже даны:

1. \( x_1 = 10t + 0.4t^2 \)
2. \( x_2 = 2t - t^2 \)
3. \( x_3 = -4t + 2t^2 \)
4. \( x_4 = -t - 6t^2 \)

Теперь найдем скорость для каждой точки, взяв производные.

1. Для точки \( x_1 \):

\[ v_1(t) = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt}(10t + 0.4t^2) = 10 + 0.8t \]

2. Для точки \( x_2 \):

\[ v_2(t) = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - t^2) = 2 - 2t \]

3. Для точки \( x_3 \):

\[ v_3(t) = \frac{dx_3}{dt} = \frac{d}{dt}(-4t + 2t^2) = -4 + 4t \]

4. Для точки \( x_4 \):

\[ v_4(t) = \frac{dx_4}{dt} = \frac{d}{dt}(-t - 6t^2) = -1 - 12t \]

Теперь у нас есть уравнения скорости для каждой точки:

• \( v_1(t) = 10 + 0.8t \)
• \( v_2(t) = 2 - 2t \)
• \( v_3(t) = -4 + 4t \)
• \( v_4(t) = -1 - 12t \)

Построение графиков

Для построения графиков зависимости скорости от времени, нужно выбрать значение \( t \) (например, от -5 до 5) и вычислить соответствующие скорости для каждой точки. Используйте программу для построения графиков, такую как Excel, Python (Matplotlib), или графический калькулятор.

Описание движения каждой точки

1. Точка 1 (\( x_1 \)): Скорость \( v_1(t) \) увеличивается с течением времени, что означает, что точка движется с ускорением.
2. Точка 2 (\( x_2 \)): Скорость \( v_2(t) \) уменьшается и станет равной нулю в момент времени \( t = 1 \). После этого точка будет двигаться в обратном направлении.
3. Точка 3 (\( x_3 \)): Скорость \( v_3(t) \) увеличивается и в нуле времени тоже находится в состоянии покоя (при \( t = 1 \) - нулевая скорость), после чего точка начинает двигаться вперед.
4. Точка 4 (\( x_4 \)): Скорость \( v_4(t) \) убывает с течением времени и на время до \( t = -\frac{1}{12} \approx -0.0833 \) будет равна нулю, после чего точка просто продолжит движение назад.

Таким образом, мы получаем полное представление о движении каждой из четырех точек. Если у вас есть доступ к программному обеспечению для построения графиков, было бы полезно визуализировать эти зависимости.