Предполагая, что $n$ пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений: 46. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{10000 n}{n^{2}+1}$. 47. $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$. 48. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}} \sin n 1}{n+1}$. 49. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}$. 50. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+a+a^{2}+\ldots+a^{n}}{1+b+b^{2}+\cdots+b^{n}} \quad(|a|

Давайте поочередно рассмотрим каждое из заданий.

46. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10000 n}{n^{2}+1}$

Чтобы решить этот предел, можем разделить числитель и знаменатель на $n^2$:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10000 n/n^2}{(n^2+1)/n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10000/n}{1+1/n^2}. \]

Когда $n \to \infty$, $10000/n \to 0$ и $1/n^2 \to 0$. Таким образом, мы получаем:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{0}{1+0} = 0. \]

Ответ: 0.

---

47. $\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

Умножим на сопряженное выражение:

\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]

Теперь, когда $n \to \infty$, $\sqrt{n+1} \to \sqrt{n} \to \infty$, и поэтому:

\[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \to \infty. \]

Таким образом, предел будет равен:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0. \]

Ответ: 0.

---

48. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}} \sin(n)}{n+1}$

Для нахождения предела нужно учесть, что $\sin(n)$ колеблется между -1 и 1. Таким образом, можно записать:

\[ -1 \leq \sin(n) \leq 1. \]

Это позволяет ограничить наше выражение:

\[ -\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1} \leq \frac{\sqrt[3]{n^2} \sin(n)}{n+1} \leq \frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1}. \]

Теперь найдем предел правой части:

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2/3}}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2/3}}{n(1 + 1/n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{1/3}(1 + 1/n)} = 0. \]

Аналогично, предел левой части также равен 0. В силу принципа сравнения пределов, имеем:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2} \sin(n)}{n+1} = 0. \]

Ответ: 0.

---

49. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}$

Заметим, что при больших $n$ доминирующей частью будет $3^n$, поскольку $|3| > |-2|$. Поэтому можно переписать предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n(1 + (-2/3)^n)}{3^{n+1}(1 + (-2/3)^{n+1})}. \]

Сократим $3^n$:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (-2/3)^{n}}{3(1 + (-2/3)^{n+1})}. \]

Когда $n \to \infty$, $(-2/3)^{n} \to 0$. Таким образом, предел будет равен:

\[ \frac{1 + 0}{3(1 + 0)} = \frac{1}{3}. \]

Ответ: $\frac{1}{3}$.

---

50. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+a+a^{2}+\ldots+a^{n}}{1+b+b^{2}+\cdots+b^{n}} \quad (|a|<1, |b|<1)$

Вернемся к формуле суммы геометрической прогрессии:

\[ S_n = 1 + a + a^2 + \ldots + a^n = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}, \] \[ T_n = 1 + b + b^2 + \ldots + b^n = \frac{1-b^{n+1}}{1-b}. \]

Теперь рассмотрим предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n+1}}{1 - b}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 - a^{n+1})(1 - b)}{(1 - b^{n+1})(1 - a)}. \]

Когда $n \to \infty$, $a^{n+1} \to 0$ и $b^{n+1} \to 0$. Поэтому:

\[ \frac{1 - 0}{1 - 0} = \frac{1}{1}. \]

Ответ: $\frac{1}{1 - b} \cdot \frac{1 - b}{1 - a} = \frac{1}{1 - a}$.

Если перечисленные значения были полезными, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы или уточнять детали.