(3x+12)(x²-2x)<0

Чтобы решить неравенство \((3x+12)(x^2-2x) < 0\), начнем с нахождения критических точек. Для этого определим, где каждый множитель равен нулю:

1. Для первого множителя \(3x + 12 = 0\): \[ 3x = -12 \implies x = -4 \]

2. Для второго множителя \(x^2 - 2x = 0\): \[ x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]

Теперь у нас есть критические точки: \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 2\). Эти точки делят числовую ось на интервалы:

1. \((- \infty, -4)\)
2. \((-4, 0)\)
3. \((0, 2)\)
4. \((2, + \infty)\)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов. Для этого подбираем произвольные значения из каждого интервала.

1. Для интервала \((- \infty, -4)\), например, \(x = -5\): \[ (3(-5) + 12)(-5^2 - 2(-5)) = (-15 + 12)(25 + 10) = (-3)(35) < 0 \] Этот интервал удовлетворяет неравенству.

2. Для интервала \((-4, 0)\), например, \(x = -1\): \[ (3(-1) + 12)(-1^2 - 2(-1)) = (-3 + 12)(1 + 2) = (9)(3) > 0 \] Этот интервал не удовлетворяет неравенству.

3. Для интервала \((0, 2)\), например, \(x = 1\): \[ (3(1) + 12)(1^2 - 2(1)) = (3 + 12)(1 - 2) = (15)(-1) < 0 \] Этот интервал удовлетворяет неравенству.

4. Для интервала \((2, + \infty)\), например, \(x = 3\): \[ (3(3) + 12)(3^2 - 2(3)) = (9 + 12)(9 - 6) = (21)(3) > 0 \] Этот интервал не удовлетворяет неравенству.

Теперь объединяем интервалы, которые удовлетворяют неравенству:

• \((- \infty, -4)\) и \((0, 2)\).

Вооружившись этой информацией, результаты можно записать в виде: \[ (-\infty, -4) \cup (0, 2) \] На этих интервалах произведение \((3x + 12)(x^2 - 2x)\) меньше нуля.