-4х² ≥ -12х

Чтобы решить неравенство -4x² ≥ -12x, начнем с его упрощения и переноса всех членов на одну сторону.

1. Переносим -12x на левую сторону: \[ -4x² + 12x ≥ 0 \]

2. Теперь можем вынести общий множитель: \[ 4x(3 - x) ≥ 0 \]

3. Решим это неравенство, найдя корни уравнения 4x(3 - x) = 0:

• 4x = 0 → x = 0
• 3 - x = 0 → x = 3

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 3. Теперь мы можем исследовать знаки выражения 4x(3 - x) в интервалах, определяемых этими корнями:

1. Интервал (-∞, 0)
2. Интервал (0, 3)
3. Интервал (3, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0), например, x = -1: \[ 4(-1)(3 - (-1)) = 4(-1)(4) = -16 < 0 \]
• Для интервала (0, 3), например, x = 1: \[ 4(1)(3 - 1) = 4(1)(2) = 8 > 0 \]
• Для интервала (3, +∞), например, x = 4: \[ 4(4)(3 - 4) = 4(4)(-1) = -16 < 0 \]

Теперь суммируем результаты:

• На интервале (-∞, 0) знак отрицательный.
• На интервале (0, 3) знак положительный.
• На интервале (3, +∞) знак отрицательный.

Поскольку неравенство должно быть больше или равно нулю (≥ 0), мы учитываем интервал (0, 3) и точки, где значение равно нулю (x = 0 и x = 3).

Итак, конечный ответ: \[ x ∈ [0, 3] \]

Это означает, что решение неравенства -4x² ≥ -12x — это все x, лежащие в интервале от 0 до 3, включая границы.