Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и DC, угол A = 60°, AB = 32, DC = 10. Найдите периметр трапеции. 8 класс

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AB и DC, сначала нужно определить длины боковых сторон.

1. Дано:

   • основания: AB = 32, DC = 10
   • угол A = 60°

2. Обозначим стороны:

   • высоту трапеции ведем из точки D на основание AB и обозначим её H.
   • Обозначим боковые стороны AD и BC как равные, поскольку трапеция равнобедренная.

3. Вызовем точки E и F, изображая проекции точек D и C на основание AB. Таким образом, AE = BF. Известно, что AE + EF + FB = AB. Запишем равенство: \[ AE + DC + BF = 32 \]

   Заметим, что AE = BF.

4. Обозначим AE = BF = x. Поскольку DC = 10, мы можем записать: \[ 2x + 10 = 32 \] \[ 2x = 22 \] \[ x = 11 \]

   Таким образом, AE = BF = 11.

5. Теперь находим высоту H. В треугольнике AED (или BCF) можно применить отношение: \[ \tan(\angle A) = \frac{H}{AE} \]

   В данном случае: \[ \tan(60°) = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad AE = 11 \] Тогда: \[ \sqrt{3} = \frac{H}{11} \implies H = 11 \sqrt{3} \]

6. Теперь найдем длину боковой стороны AD (или BC): \[ AD = \sqrt{AE^2 + H^2} = \sqrt{11^2 + (11\sqrt{3})^2} \] \[ = \sqrt{121 + 363} = \sqrt{484} = 22 \]

7. Теперь суммируем все стороны для нахождения периметра P: \[ P = AB + BC + CD + AD = 32 + 22 + 10 + 22 \] \[ P = 86 \]

Таким образом, периметр трапеции ABCD равен 86.