В треугольнике две стороны равны 12 см и 13 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Для решения задачи о треугольнике, где две стороны равны 12 см и 13 см, а угол между ними равен 60°, воспользуемся теоремой косинусов для вычисления третьей стороны и формулой для площади треугольника.

1. Нахождение третьей стороны. Обозначим стороны треугольника как \( a = 12 \) см, \( b = 13 \) см и угол между ними как \( C = 60^\circ \). По теореме косинусов мы можем найти третью сторону \( c \):

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

   Подставим известные значения:

   \[ c^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos(60^\circ) \]

   Так как \( \cos(60^\circ) = 0.5 \):

   \[ c^2 = 144 + 169 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 144 + 169 - 156 \] \[ c^2 = 157 \] \[ c = \sqrt{157} \approx 12.53 \, \text{см} \]

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 12.53 см.

2. Нахождение площади треугольника. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C) \]

   Подставим известные значения:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin(60^\circ) \]

   Так как \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{12 \cdot 13 \cdot \sqrt{3}}{4} \] \[ S = 39\sqrt{3} \approx 67.62 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника составляет примерно 67.62 см².