2sin2x+5sinx+3=0

Чтобы решить уравнение \(2\sin^2{x} + 5\sin{x} + 3 = 0\), давайте начнем с замены \(y = \sin{x}\). Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[2y^2 + 5y + 3 = 0.\]

Следующим шагом будет использование дискриминанта для решения этого квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 2\), \(b = 5\), и \(c = 3\). Подставим значения:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1.\]

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Используем формулу для нахождения корней:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a},\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставив значения, получаем:

\[y_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1,\] \[y_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}.\]

Теперь у нас есть два корня: \(y_1 = -1\) и \(y_2 = -\frac{3}{2}\).

Но значение \(\sin{x}\) не может превышать 1 по модулю, поэтому \(y_2 = -\frac{3}{2}\) не имеет решения в пределах допустимых значений для \(\sin{x}\).

Теперь решим \(y_1 = -1\): \[\sin{x} = -1.\]

Это уравнение выполняется, когда \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.

Таким образом, окончательное решение уравнения \(2\sin^2{x} + 5\sin{x} + 3 = 0\):

\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]