Упростите. a-b/³√а-³√b - a+b/³√a+³√b

Давайте упростим выражение:

\(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\).

Чтобы упростить, начнем с поиска общего знаменателя для обеих дробей. Общий знаменатель будет \((\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})\).

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

1. Первая дробь: \[ \frac{a-b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{(a-b)(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \]

2. Вторая дробь: \[ \frac{a+b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{(a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \]

Теперь мы можем записать выражение с общим знаменателем:

\[ \frac{(a-b)(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \]

Упростим числитель:

• Раскроем скобки:

\((a-b)(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) = a \sqrt[3]{a} + a \sqrt[3]{b} - b \sqrt[3]{a} - b \sqrt[3]{b} \)

\((a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = a \sqrt[3]{a} - a \sqrt[3]{b} + b \sqrt[3]{a} - b \sqrt[3]{b}\)

Теперь сложим их:

Числитель будет: \[ (a \sqrt[3]{a} + a \sqrt[3]{b} - b \sqrt[3]{a} - b \sqrt[3]{b}) - (a \sqrt[3]{a} - a \sqrt[3]{b} + b \sqrt[3]{a} - b \sqrt[3]{b}) \]

• Упростим:

\( 2a\sqrt[3]{b} - 2b\sqrt[3]{a} \)

Итак, числитель получится: \[ 2 (a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a}) \]

Таким образом, окончательное выражение:

\[ \frac{2(a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \]

Это и есть упрощенное выражение. Если что-то неясно, задавайте дополнительные вопросы!