Найдите двузначное число если известно что цифра единиц искомооо числа на 2 больше цифрыего десятков и что произведение числа на сумму его цыфр равно 144
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, а \( b \) — цифра единиц. Мы знаем две вещи из условия задачи:
Цифра единиц \( b \) на 2 больше цифры десятков \( a \): \[ b = a + 2 \]
Произведение числа и суммы его цифр равно 144: \[ (10a + b) \times (a + b) = 144 \]
Теперь подставим значение \( b \) в уравнение. Получаем: \[ b = a + 2 \] Подставим это в уравнение: \[ (10a + (a + 2)) \times (a + (a + 2)) = 144 \] Упростим: \[ (10a + a + 2) \times (a + a + 2) = 144 \] \[ (11a + 2) \times (2a + 2) = 144 \] Теперь раскроем скобки: \[ (11a + 2)(2a + 2) = 144 \] \[ 22a^2 + 22a + 4a + 4 = 144 \] \[ 22a^2 + 26a + 4 - 144 = 0 \] \[ 22a^2 + 26a - 140 = 0 \] Теперь упростим уравнение, поделив его на 2: \[ 11a^2 + 13a - 70 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-70) = 169 + 3080 = 3249 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{3249}}{2 \cdot 11} \]
Сначала посчитаем корень из 3249: \[ \sqrt{3249} = 57 \]
Теперь подставим значение корня: \[ a = \frac{-13 \pm 57}{22} \] Решим для двух случаев:
- \( a = \frac{44}{22} = 2 \)
- \( a = \frac{-70}{22} \) (это не подходит, так как \( a \) не может быть отрицательным)
Теперь, если \( a = 2 \): \[ b = a + 2 = 2 + 2 = 4 \]
Таким образом, искомое двузначное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 2 + 4 = 24 \]
Проверим условия:
- Цифра единиц \( 4 \) действительно на \( 2 \) больше, чем цифра десятков \( 2 \).
- Произведение: \( 24 \times (2 + 4) = 24 \times 6 = 144 \).
Ответ: искомое двузначное число — 24.
