Координаты всех вершин некоторого треугольника четные числа. Докажите, что площадь этого треугольника выражается натуральным числом

Давайте рассмотрим треугольник, вершины которого имеют четные координаты. Обозначим координаты этих вершин как \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) и \(C(x_3, y_3)\), где \(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3\) — четные числа.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Теперь, поскольку \(x_1, x_2, x_3\) и \(y_1, y_2, y_3\) — четные числа, можно выразить их как:

\[ x_i = 2a_i \quad (i=1,2,3) \quad \text{и} \quad y_j = 2b_j \quad (j=1,2,3) \]

где \(a_i\) и \(b_j\) — целые числа. Подставив эти выражения в формулу для площади, получаем:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 2a_1(2b_2 - 2b_3) + 2a_2(2b_3 - 2b_1) + 2a_3(2b_1 - 2b_2) \right| \]

Упрощаем:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 2(a_1(2b_2 - 2b_3) + a_2(2b_3 - 2b_1) + a_3(2b_1 - 2b_2)) \right| \] \[ = \left| a_1(b_2 - b_3) + a_2(b_3 - b_1) + a_3(b_1 - b_2) \right| \]

Так как \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3\) — целые числа, это выражение, обозначающее площадь \(S\), также является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника, вершины которого имеют четные координаты, выражается натуральным числом.