10*25^x +18*5^x - 4=0

Давайте решим уравнение \(10 \cdot 25^x + 18 \cdot 5^x - 4 = 0\).

Сначала мы заметим, что \(25\) можно представить как \(5^2\). Таким образом, \(25^x\) можно записать как \((5^2)^x = 5^{2x}\). Подставим это в уравнение:

\[ 10 \cdot (5^{2x}) + 18 \cdot 5^x - 4 = 0 \]

Теперь для упрощения сделаем замену: пусть \(y = 5^x\). Тогда уравнение станет:

\[ 10y^2 + 18y - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 10\), \(b = 18\), \(c = -4\). Подставим значения:

\[ D = 18^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-4) = 324 + 160 = 484 \]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два разных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 10} \]

Сначала вычислим \(\sqrt{484}\), что равно \(22\):

\[ y = \frac{-18 \pm 22}{20} \]

Теперь решим для двух значений:

1. \(y_1 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\)
2. \(y_2 = \frac{-40}{20} = -2\) (это значение не подходит, так как \(y\) не может быть отрицательным)

Теперь у нас есть единственный корень: \(y = \frac{1}{5}\). Вспоминаем, что мы сделали замену \(y = 5^x\):

\[ 5^x = \frac{1}{5} \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \]

Это означает, что:

\[ x = -1 \]

Таким образом, решение уравнения \(10 \cdot 25^x + 18 \cdot 5^x - 4 = 0\) — это:

\[ x = -1 \]