Упражнения 2 A 7.1. На рисунке 7.19 изображен график функ- ции y = f(x). Используя график данной функции, перечислите ее свойства. Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что возрастают функции (7.2—7.3): 7.2. 1) у = 9 + 2 x; 2) y = 6х + 1; 3) у = - 8 + 4х; 4) y = 0,5x - 3; 5) у = х + 3: 6) y = 0,2 х3; 7) y =- 5 +x3; 8) y = x3 - 1. - 2 2 4 - 24 Рис. 7.19

Давайте разберемся с вашим вопросом по графику функции \(y = f(x)\) и свойствами функций, которые вы перечислили.

Свойства графика функции \(y = f(x)\):

1. Определённость: Убедитесь, что график функции определён на выбранном интервале \(x\).
2. Непрерывность: Проверьте, нет ли разрывов в графике. Если график непрерывен, функция тоже непрерывна.
3. Возрастание и убывание: Проанализируйте участки графика. Если на каком-либо интервале \(x_1 < x_2\) выполняется \(f(x_1) < f(x_2)\), то функция возрастает в этом интервале. Если наоборот, то функция убывает.
4. Экстремумы: Найдите максимумы и минимумы функции, которые отображаются как пики и впадины на графике.
5. Ассимптоты: Если функция стремится к бесконечности или имеет поведение на бесконечности, проверьте ассимптоты.
6. Периодичность: Определите, повторяется ли график через равные промежутки.

Доказательство возрастания функций:

Теперь перейдём к доказательству, что предложенные функции возрастают. Мы будем исследовать каждую функцию по отдельности.

1. \(y = 9 + 2x\)

   • Поскольку коэффициент при \(x\) положительный (2 > 0), функция возрастает на всём диапазоне.

2. \(y = 6x + 1\)

   • Здесь также коэффициент при \(x\) положительный (6 > 0), следовательно, функция также возрастает.

3. \(y = -8 + 4x\)

   • Поскольку 4 > 0, функция возрастает.

4. \(y = 0.5x - 3\)

   • Здесь 0.5 > 0, значит, функция тоже возрастает.

5. \(y = x + 3\)

   • Положительный коэффициент (1 > 0), функция возрастает.

6. \(y = 0.2x^3\)

   • Поскольку \(0.2 > 0\) и для \(x > 0\) производная функции положительна, функция возрастает.

7. \(y = -5 + x^3\)

   • Здесь производная \(3x^2\) положительна при \(x > 0\), следовательно, функция возрастает.

8. \(y = x^3 - 1\)

   • Аналогично, производная \(3x^2\) положительна при \(x > 0\), значит, функция тоже возрастает.

Общее резюме:

Во всех приведенных случаях, благодаря положительным коэффициентам при \(x\) или производной, мы доказали, что указанные функции возрастают на своём диапазоне. Если будут дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!