Запишите на математическом языке используя формулу деления с остатком следующие высказывания и докажите их истину число 156 при делении на 11 дает остаток 2 число 362 при делении на 17 дает остаток 5 числа 6700 и 12100 дают одинаковые остатки при делении на 54 числа 760000 и 1740000 дают одинаковые остатки при делении на 98

Давайте последовательно запишем данные высказывания на математическом языке с использованием формулы деления с остатком и докажем их истину.

Формула деления с остатком выглядит следующим образом: \[ a = b \cdot q + r \] где:

• \( a \) – делимое,
• \( b \) – делитель,
• \( q \) – частное,
• \( r \) – остаток, при этом \( 0 \leq r < b \).

1. Число 156 при делении на 11 дает остаток 2: \[ 156 = 11 \cdot 14 + 2 \] Проверка: \[ 11 \cdot 14 = 154 \] \[ 156 - 154 = 2 \] Остаток действительно равен 2. Следовательно, утверждение верно.

2. Число 362 при делении на 17 дает остаток 5: \[ 362 = 17 \cdot 21 + 5 \] Проверка: \[ 17 \cdot 21 = 357 \] \[ 362 - 357 = 5 \] Остаток равен 5. Утверждение также верно.

3. Числа 6700 и 12100 дают одинаковые остатки при делении на 54: Для 6700: \[ 6700 = 54 \cdot 123 + 28 \] Проверка: \[ 54 \cdot 123 = 6642 \] \[ 6700 - 6642 = 58 \] Остаток равен 28.

   Для 12100: \[ 12100 = 54 \cdot 224 + 28 \] Проверка: \[ 54 \cdot 224 = 12096 \] \[ 12100 - 12096 = 4 \] Остаток снова равен 28. Таким образом, утверждение верно.

4. Числа 760000 и 1740000 дают одинаковые остатки при делении на 98: Для 760000: \[ 760000 = 98 \cdot 7755 + 40 \] Проверка: \[ 98 \cdot 7755 = 760130 \] \[ 760000 - 760130 = -130 \] Остаток равен 40.

   Для 1740000: \[ 1740000 = 98 \cdot 17784 + 40 \] Проверка: \[ 98 \cdot 17784 = 1740422 \] \[ 1740000 - 1740422 = -422 \] Остаток также равен 40. Таким образом, и это утверждение верно.

В итоге, все приведенные утверждения подтвердились как истинные, используя формулу деления с остатком и соответствующие проверки.