Давайте разберем ваш кроссворд по порядку.
Название учреждения, избравшего на царский престол династию Романовых – это Семибоярщина. Существует также вариант ответа "Земский собор", который собрался в 1613 году для выбора Михаила Романова на царствование.
Наименование казачьего посольства в Москву XVI-XVII веках – это казачье посольство или "казачья сопроводительная грамота". В более узком смысле, можно назвать посольство Запорожской Сечи.
Высший законодательный и судебный орган в войске XVI-XVII веках – это Казачий круг. Также можно встретить термин "Рада".
Атаман донских казаков, поддержавших Лжедмитрия I – это Кошевой атаман (но для более конкретного ответа можно указать имя атамана, такого как Тимофей Нагой или просто атаман).
Если вам нужны дополнительные объяснения по истории России или по другим вопросам, не стесняйтесь задавать их!