Х-2/х+3/-30/х^2-9=3/8

Для решения уравнения \(\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2 - 9} = \frac{3}{8}\) начнем с упрощения.

Во-первых, заметим что \(x^2 - 9\) можно разложить как разность квадратов: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). \] Тогда наше уравнение можно переписать в следующем виде: \[ \frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3}{8}. \]

Следующим шагом объединим дроби с общим знаменателем. Общий знаменатель будет \((x - 3)(x + 3)\): \[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{30}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3}{8}. \]

Объединив дроби на левой стороне, получаем: \[ \frac{(x-2)(x-3) - 30}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3}{8}. \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \((x - 3)(x + 3)\) для удаления знаменателей: \[ (x-2)(x-3) - 30 = \frac{3}{8}(x - 3)(x + 3). \]

Упростим каждую сторону. Сначала разберем левую часть: \[ (x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6. \] Тогда левая часть становится: \[ x^2 - 5x + 6 - 30 = x^2 - 5x - 24. \]

Теперь разберем правую часть: \[ \frac{3}{8}(x^2 - 9) = \frac{3}{8}x^2 - \frac{27}{8}. \]

Теперь мы имеем: \[ x^2 - 5x - 24 = \frac{3}{8}x^2 - \frac{27}{8}. \]

Для удобства избавимся от дробей, умножив все на 8: \[ 8(x^2 - 5x - 24) = 3x^2 - 27. \] Это упрощается до: \[ 8x^2 - 40x - 192 = 3x^2 - 27. \]

Теперь переместим все на одну сторону: \[ 8x^2 - 3x^2 - 40x - 192 + 27 = 0. \] Получаем: \[ 5x^2 - 40x - 165 = 0. \]

Теперь это квадратное уравнение можно решить по формуле дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-165) = 1600 + 3300 = 4900. \]

Далее, найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 70}{10}. \] Таким образом, у нас два корня: \[ x_1 = \frac{110}{10} = 11, \] \[ x_2 = \frac{-30}{10} = -3. \]

Корни уравнения: \(x = 11\) и \(x = -3\). Однако учтите, что \(x = -3\) делает знаменатель равным нулю, поэтому его нужно исключить. Окончательный ответ: \[ x = 11. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, дайте знать!