Найдите частные производные функции z=ln(x^2+y^2)
Чтобы найти частные производные функции \( z = \ln(x^2 + y^2) \), необходимо воспользоваться определениями частных производных.
- Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) \]
Поскольку \( y \) считается константой, то производная \( x^2 \) равна \( 2x \) и производная \( y^2 \) равна 0. Таким образом:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2} \]
- Частная производная по \( y \):
Аналогично, для производной по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) \]
Здесь производная \( x^2 \) равна 0, а производная \( y^2 \) равна \( 2y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2} \]
Таким образом, частные производные функции \( z = \ln(x^2 + y^2) \) будут:
- \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} \)
- \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
