A = 8 sin 2a + 8 cos4 2a найти наименьшее и наибольшее значение А
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение выражения \( A = 8 \sin 2a + 8 \cos 4a \), начнем с упрощения этого уравнения.
Выразим \( A \) как: \[ A = 8 (\sin 2a + \cos 4a) \]
Используем известные тождества тригонометрии, чтобы упростить \( \cos 4a \). Мы знаем, что: \[ \cos 4a = \cos^2 2a - \sin^2 2a = 2\cos^2 2a - 1 \] Таким образом, мы можем заменить \( \cos 4a \): \[ A = 8 \left( \sin 2a + 2\cos^2 2a - 1 \right) \]
Заменим \( \cos^2 2a \) через \( \sin 2a \) используя \( \cos^2 2a = 1 - \sin^2 2a \): \[ A = 8 \left( \sin 2a + 2(1 - \sin^2 2a) - 1 \right) \] \[ A = 8 \left( \sin 2a + 2 - 2\sin^2 2a - 1 \right) \] \[ A = 8 \left( 2 - 2\sin^2 2a + \sin 2a \right) \] Упрощаем: \[ A = 8\left( 1 + \sin 2a - 2\sin^2 2a \right) \]
Теперь, обозначим \( x = \sin 2a \). Следовательно, \( A = 8(1 + x - 2x^2) \), где \( x \in [-1, 1] \) так как \( \sin 2a \) принимает значения в этом диапазоне.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение \( A \), найдём производную: \[ A = 8(-2x^2 + x + 1) \] Находим производную: \[ A' = 8(-4x + 1) \] Приравниваем к нулю: \[ -4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \]
Теперь подставим \( x \) обратно в уравнение для \( A \): \[ A\left(\frac{1}{4}\right) = 8\left(1 + \frac{1}{4} - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2\right) = 8\left(1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) \] \[ = 8\left(1 + 0.25 - 0.125\right) = 8 \times 1.125 = 9 \]
Теперь проверим значения на границах:
- При \( x = -1 \): \[ A(-1) = 8\left(1 - 1 - 2(-1)^2\right) = 8\left(1 - 1 - 2\right) = -8 \]
- При \( x = 1 \): \[ A(1) = 8\left(1 + 1 - 2(1)^2\right) = 8\left(1 + 1 - 2\right) = 0 \]
Подведем итоги:
- Минимальное значение \( A \) равно \(-8\), когда \( \sin 2a = -1 \).
- Максимальное значение \( A \) равно \( 9\), когда \( \sin 2a = \frac{1}{4} \).
Таким образом, наименьшее и наибольшее значения \( A \) равны:
- Наименьшее значение: \(-8\)
- Наибольшее значение: \(9\)
