Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку P, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в —…

Чтобы найти длину отрезка \( B_1B_2 \), начнем с имеющихся данных.

1. Дано, что \( A_1A_2 = 6 \, \text{см} \) и \( \frac{PA_1}{A_1B_2} = 3 \). Это означает, что длина отрезка \( PA_1 \) в 3 раза больше длины отрезка \( A_1B_2 \).

Обозначим:

• Длину отрезка \( PA_1 \) как \( x \).
• Длину отрезка \( A_1B_2 \) тогда можно выразить как \( \frac{x}{3} \).

Согласно условию, у нас справедливо следующее равенство:

\[ A_1B_2 = \frac{x}{3} \]

Теперь, так как \( B_1B_2 \) и \( A_1A_2 \) – это отрезки, соединяющие две параллельные плоскости, их длины пропорциональны.

Поскольку плоскости параллельны, можем воспользоваться подобием треугольников и отношениями:

\[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{PA_1}{A_1B_2 + PA_1} \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ \frac{6}{B_1B_2} = \frac{x}{\frac{x}{3} + x} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{x}{\frac{x}{3} + x} = \frac{x}{\frac{x + 3x}{3}} = \frac{x}{\frac{4x}{3}} = \frac{3}{4} \]

Теперь у нас есть равенство:

\[ \frac{6}{B_1B_2} = \frac{3}{4} \]

Перемножим крест-накрест для нахождения \( B_1B_2 \):

\[ 6 \cdot 4 = 3 \cdot B_1B_2 \]

Отсюда:

\[ 24 = 3 \cdot B_1B_2 \]

Разделим обе части на 3:

\[ B_1B_2 = 8 \, \text{см} \]

Таким образом, длина отрезка \( B_1B_2 \) равна 8 см.